Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 921

Calcule D   x y   d A , onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y 2 = 2 x + 6 .

Passo 1

Vamos fazer um esboço para entender melhor a questão.

Observando a equação da parábola, vemos que o termo elevado ao quadrado é o y , não o x , como costumamos ver. Isso quer dizer que essa parábola está “virada de lado”, com eixo de simetria paralelo ao x .

Como o número que multiplica y 2 é positivo, ela está virada para a direita (onde x é positivo)

Fazendo x = 0 , vemos que a parábola possui raízes (corta o eixo y ):

y 2 = 6   y = ± 6

Agora precisamos analisar a reta. Como o número que multiplica o x é positivo, ela está virada para a direita.

O que estamos fazendo é uma análise rápida das equações do domínio, você não deve se preocupar em fazer um gráfico perfeito! Isso é apenas para termos uma noção do formato da área na hora de escrevê-la.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Essa região pode ser escrita tanto como tipo I como II. Porém, no primeiro caso seria preciso dividi-la em duas, pois na esquerda ela está limitada em cima e embaixo pela parábola e na direita, pela parábola e pela reta. Já se escrevermos como tipo II, a questão fica mais simples, pois teremos apenas a parábola na esquerda e a reta na direita.

É importante que você faça essas análises, para evitar contas desnecessárias!

Escrevendo como tipo II, então, precisamos colocar as equações da reta e da parábola em função de y , isolando o x :

y = x - 1 x = y + 1

y 2 = 2 x + 6 x = ( y 2 - 6 ) 2

Assim, teremos: ( y 2 - 6 ) 2 v e r m e l h o x y + 1 a z u l

Para encontrar o intervalo de y , temos que fazer a interseção entre as duas funções, igualando uma à outra.

y + 1 = ( y 2 - 6 ) 2

y 2 2 - y - 4 = 0

y 2 - 2 y - 8 = 0

Resolvendo

y = - - 2 ± - 2 2 - 4 - 8 1 2.1 = 2 ± 4 + 32 2 = 2 ± 36 2 = 2 ± 6 2 = 1 ± 3

y = - 2 y = 4

Portanto, temos - 2 y 4 e nosso domínio será:

D = ( x , y ) | - 2 y 4 ; ( y 2 - 6 ) 2 x y + 1  

Passo 3

Vamos substituir esses valores na integral

- 2 4   ( y 2 - 6 ) 2 y + 1 x y   d x d y

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a x :

= - 2 4   x 2 2 y x = ( y 2 - 6 ) 2 x = y + 1 d y =

= - 2 4     y + 1 2 2 y - y 2 - 6 2 4 2 y   d y =

= - 2 4 y 3 + 2 y 2 + y 2 - y 5 - 12 y 3 + 36 y 8   d y =

= - 2 4   4 y 3 + 8 y 2 + 4 y - y 5 + 12 y 3 - 36 y 8   d y =

= - 2 4   - y 5 8 + 2 y 3 + y 2 - 4 y   d y =

Passo 5

Vamos integrar, então, em relação a y :

= - y 6 48 + y 4 2 + y 3 3 - 2 y 2 y = - 2 y = 4 =

- 4096 48 + 256 2 + 64 3 - 32 - - 64 48 + 16 2 - 8 3 - 8 =

= - 64 + 128 - 32 - - 4 + 8 - 8 =

= 32 + 4 =

= 36

Resposta

36

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