Calcule a integral da função f x ,   y = 2 x 3 + 6 e 2 x + 7 y sobre a região R = x ,   y | - 1 ≤ x ≤ 1 ,     0 ≤ y ≤ 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função de duas variáveis e pediu pra gente integrar ela na região R = x ,   y | - 1 ≤ x ≤ 1 ,     0 ≤ y ≤ 2 . Como ficaria essa integral?

Bom, a gente já sabe que x tá variando de - 1 a 1 e que y tá variando de 0 a 2 . A gente também tem o integrando, que é f x ,   y = 2 x 3 + 6 e 2 x + 7 y . Então, nossa integral seria dupla e ficaria assim:

∫ - 1 1 ∫ 0 2 2 x 3 + 6 e 2 x + 7 y d y d x

E o que nós vamos fazer é integrar uma de cada vez, aplicando os limites de integração. Vamos lá!

Passo 2

Galera, vamos começar calculando a integral em relação a y :

∫ - 1 1 ∫ 0 2 2 x 3 + 6 e 2 x + 7 y d y d x

Repare que o y só aparece ali no expoente da função, então a outra parte a gente trata como constante e integra só o que tem y . Pra ficar mais fácil, vamos chamar o expoente de u :

u = 2 x + 7 y

E derivar somente em relação a y :

d u = 7 d y → d y = d u 7

Substituindo na segunda parte da integral, fica assim:

∫ 0 2 6 e u d u 7 = 6 7 ∫ 0 2 e u d u

Integrando e voltando à variável y , temos:

= 6 7 e u 0 2 = 6 7 e 2 x + 7 y 0 2

Mas a gente não pode esquecer do primeiro termo da nossa integral original, que é 2 x 3 . Integrando tudo junto, temos:

∫ - 1 1 ∫ 0 2 2 x 3 + 6 e 2 x + 7 y d y d x

= ∫ - 1 1 2 x 3 y + 6 7 e 2 x + 7 y 0 2 d x

Aplicando os limites de integração em y :

∫ - 1 1 2 x 3 2 + 6 7 e 2 x + 7 2 - 2 x 3 0 - 6 7 e 2 x + 7 0 d x

∫ - 1 1 4 x 3 + 6 7 e 2 x + 14 - e 2 x d x

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a x :

∫ - 1 1 4 x 3 + 6 7 e 2 x + 14 - e 2 x d x

Lembra da regrinha pra integrar a exponencial? Onde ∫ e a x d x = 1 a e a x . A gente vai usar ela aqui:

= 4 x 4 4 + 6 7 ∙ 2 e 2 x + 14 - 1 2 e 2 x - 1 1

x 4 + 6 14 e 2 x + 14 - 1 2 e 2 x - 1 1

Beleza, agora vamos aplicar os limites de integração em x :

1 4 + 6 14 e 2 1 + 14 - 1 2 e 2 1 - - 1 4 + 6 14 e 2 - 1 + 14 - 1 2 e 2 - 1

= 1 + 6 14 e 16 - 1 2 e 2 - 1 - 6 14 e 12 + 1 2 e - 2

Simplificando, temos:

3 7 e 16 - e 2 - 1 2 ( e 2 - e - 2 )

E encontramos nossa resposta. Valeu, galera! 😉

Resposta

3 7 e 16 - e 2 - 1 2 ( e 2 - e - 2 )

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