Calcule as seguintes integrais duplas:

d)

∬ x cos ⁡ y d x d y D

Onde D é a região limitada por y = 0 ,   y = x 2 ,   x = 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∬ x cos ⁡ y d x d y D

Onde D é a região limitada por y = 0 ,   y = x 2 ,   x = 1 .

Em outras palavras, queremos resolver a seguinte integral (aplicando os limites de integração):

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 x cos ⁡ y d y   d x

Para isso, temos que integrar primeiramente em relação a d y e depois para d x .

Lembrando que o y será uma constante quando estivermos desenvolvendo a integral quando tiver em relação a d x . E o mesmo acontece para x , quando em relação a d y .

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a y , vamos pegar essa integral:

∫ 0 x 2 x cos ⁡ y d y

Colocando a constante para fora e resolvendo a integral, temos:

x ∫ 0 x 2 cos ⁡ y d y

= x sin ⁡ y x 2 0 ∴

= x sin ⁡ x 2

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 x cos ⁡ y d y   d x = ∫ 0 1 x sin ⁡ x 2   d x

Aplicando a substituição u = x 2 ∴ d u = 2 x   d x , temos:

= ∫ 0 1 x sin ⁡ u 2 x   d x ∴

= ∫ 0 1 sin ⁡ u 2   d x ∴

= 1 2 - cos ⁡ u ∴

= 1 2 - cos ⁡ x 2 1 0 ∴

= 1 - cos ⁡ 1 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

1 - cos ⁡ 1 2

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