2 - A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z = f x , y definida numa região R ⊂ R 2 é dada pela fórmula

A = ∫ ∫ R 1 + ∇ f x , y 2 d A

Se f é dada implicitamente pela equação F x , y , z = 0 , então

A = ∫ ∫ R ∇ F x , y , z ∂ F x , y , z ∂ z d A

onde z = f x , y e supondo que nesse caso ∂ F x , y , z ∂ z ≠ 0 no interior de R . Determine a área das seguintes superfícies:

c) A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do paraboloide z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, vamos calcular a área da superfície da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do paraboloide z = x 2 + y 2 .

O que?? Não entendi nada! 🤔

Calma! Pra isso, vamos usar uma equação que foi dada no enunciado. No caso, como temos uma função f x , y , z , usamos

A = ∫ ∫ R ∇ F x , y , z ∂ F x , y , z ∂ z d A

Pra isso, vamos calcular o gradiente de f obter seu módulo. Também queremos o modulo da derivada de f com relação a z .

Depois de tudo isso calculado, encontramos os limites de integração para a região R e calculamos a integral!

Entendeu? Vamos começar que tudo vai ficar claro. 😁

Passo 2

Primeiro vamos calcular o gradiente de f . Lembra como faz isso?

∇ F x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Lembrando que nossa função é f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 4 z

Logo, derivando f em relação a x , temos

∂ f ∂ x = 2 x

Com relação a y , temos

∂ f ∂ y = 2 y

E com relação a z

∂ f ∂ z = 2 z - 4

Com isso, nosso gradiente será

∇ F x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z - 4

Tirando o modulo desse vetor, temos

∇ F x , y , z = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z - 4 2

∇ F x , y , z = 4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 - 16 z + 16

Com isso, podemos montar nossa função de integração, como

∫ ∫ R 4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 - 16 z + 16 2 z - 4 2 d A

∫ ∫ R 4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 - 16 z + 16 4 z 2 - 16 z + 16 d A

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos observar a região R para definir os limites de integração. Pra isso, temos que encontrar os limites de x e y quando z = x 2 + y 2 intercepta x 2 + y 2 + z 2 = 4 z .

Substituindo a primeira equação na segunda, temos

z + z 2 = 4 z

z 2 = 3 z

z = 3

Ou seja, projetando o paraboloide quando z = 3 no plano x y , vamos obter

x 2 + y 2 = 3

Ou seja, uma circunferência de raio 3 .

Lembre-se que quando se trata de uma região de integração redonda, usamos coordenadas cilíndricas para definir os limites de integração.

Nesse caso, como o raio da circunferência é 3 , os limites de integração em r é de 0 a 3 .

Também como estamos de olhos em toda a circunferência, os limites de integração em θ vai de 0 a 2 π .

Como z = 3 , nossa função de integração será

4 x 2 + 4 y 2 + 4 3 2 - 16 3 + 16 4 3 2 - 16 3 + 16 → 4 x 2 + 4 y 2 + 4 4 → x 2 + y 2 + 1

Convertendo para coordenadas polares, onde x 2 + y 2 = r 2 , temos

x 2 + y 2 + 1 → r 2 + 1

Com isso, sem esquecer do jacobiano r , nossa integral será

∫ 0 2 π ∫ 0 3 r r 2 + 1 d r d θ

Agora já temos mais familiaridade, não é?

Passo 4

Primeiro integramos com relação a r

∫ r r 2 + 1 d r

Pelo método de substituição u d u , onde u = r 2 + 1 , d u d x = 2 r e d x = 1 2 r d u

∫ u 2 d u

Pelo método de integração polinomial, onde somamos 1 no expoente de u e dividimos pelo resultado da soma.

∫ u 2 d u = 1 2 u 1 2 + 1 1 2 + 1 = 1 3 u 3 2

Substituindo u de volta

∫ r r 2 + 1 d r = 1 3 r 2 + 1 3 2

Aplicando os limites de integração no resultado

∫ 0 3 r r 2 + 1 d r = 1 3 3 2 + 1 3 2 - 1 3 0 2 + 1 3 2

∫ 0 3 r r 2 + 1 d r = 8 3 - 1 3

∫ 0 3 r r 2 + 1 d r = 7 3

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Agora, com base no resultado, integramos com relação a θ

∫ 7 3 d θ

Como nossa função de integração é apenas uma constante, sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração.

∫ 7 3 d θ = 7 3 θ

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 2 π 7 3 d θ = 7 3 2 π - 0

∫ 0 2 π 7 3 d θ = 14 π 3

Com isso, descobrimos que a área da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z dentro do paraboloide z = x 2 + y 2 é de 14 π 3 !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

14 π 3

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