(Cap 15.3 – Ex 25) Determine o volume do sólido dado.

Abaixo da superfície z = x y e acima do triângulo com vértices ( 1,1 ) , ( 4,1 ) e ( 1,2 )

Passo 1

Falaaaa meus jovens, tudo certinho?

Bora lá?!

Primeiramente vamos analisar a região D , que é o triângulo delimitado pelos vértices dados. No plano x   y temos a seguinte região:

Podemos representar essa área como sendo do tipo I ou II, mas antes de tudo teremos que achar a equação da reta que passa entre ( 1,2 ) e ( 4,1 ) . A sua inclinação é:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 = 2 - 1 1 - 4 = - 1 3

E a reta é

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Substituindo o ponto ( 1,2 ) :

y - 2 = - 1 3 ( x - 1 )

y = - x 3 + 1 3 + 2

y = - x 3 + 7 3

Então podemos escrever D da seguinte forma

D = x , y   1 ≤ x ≤ 4 ,     1 ≤ y ≤ 7 - x 3

Passo 2

Temos então que o volume do solido W que é restrito abaixo de z = x y na região D é dado por

V W = ∬ D z   d A

= ∫ 1 4 ∫ 1 7 - x 3 x y   d y d x

Agora vamos integrar, primeiro em y

= ∫ 1 4 x y 2 2 y = 1 y = 7 - x 3 d x

= ∫ 1 4 x ( 7 - x ) 2 2 ⋅ 3 2 - x 2   d x

∫ 1 4 49 x - 14 x 2 + x 3 18 - 9 x 18   d x

= ∫ 1 4 40 x - 14 x 2 + x 3 18   d x

Agora em relação a x

= 1 18 20 x 2 - 14 x 3 3 + x 4 4 1 4

= 1 18 20 ⋅ 4 2 - 14 ⋅ 4 3 3 + 4 4 4 - 20 - 14 3 + 1 4

= 1 18 320 - 896 3 + 64 - 20 + 14 3 - 1 4

= 1 18 364 - 294 - 1 4

= 1 18 70 - 1 4 = 1 18 280 4 - 1 4

= 279 72 = 31 8

Resposta

Portanto, o volume do sólido é

V = 31 8

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_0^(x^2) ( x + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla.∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 = x = e , 0 = y = ln x }
Calcule a integral dupla. ∬ D y 3 d A D é a região triangular com vértices 0,2 ,( 1,1 ) e ( 3,2 ) .