1. Calcule a integral dupla da função f x , y = x 2 + y 2 sobre a região triangular de vértices - 2,2 ,   2,2   e   ( 0,0 ) .
  2. A integral acima expressa o volume de qual sólido?

Passo 1

Opa! Tudo bem?

  1. Pra começar, vamos dar uma olhada na região...
  2. Veja então que:

    0 ≤ y ≤ 2

    Já o x começa na reta que passa por 0,0 e   - 2,2 e sai em na reta que passa por: 0,0 e ( 2,2 ) . Vamos escrever essas retas então...

    Passo 2

    Uma reta tem a forma:

    y - y 0 = m ( x - x 0 )

    Pra reta que passa por 0,0 e   ( - 2,2 ) , temos:

    m = Δ y Δ x = 2 - 0 - 2 - 0 =   - 1

    Escolhendo o ponto ( 0,0 ) , temos a reta:

    y - 0 = - 1 ( x - 0 )

    y = - x → x = - y

    A outra reta:

    m = 2 - 0 2 - 0 = 1

    A reta é:

    y - 0 = 1 ( x - 0 )

    y = x

    E daí temos que os limites de x são:

    - y ≤ x ≤ y

    Passo 3

    Montando a integral então temos:

    ∫ 0 2 ∫ - y y x 2 + y 2 d x d y

    Integrando em x ...

    = ∫ 0 2 x 3 3 + x y 2 - y y d y

    = ∫ 0 2 y 3 3 + y 3 - - y 3 3 - y 3   d y

    = ∫ 0 2 2 y 3 3 + 2 y 3   d y

    =   2 y 4 12 + 2 y 4 4 0 2

    = 32 12 + 8 - 0

    = 32 3

    E calculamos a integral!

    Passo 4

  3. A integral calculada representa o volume de uma pirâmide de base quadrada, medindo 4   de lado e 2 de altura. Veja só:

V p = A b ⋅ h 3

V p = 4 2 ⋅ 2 3 = 32 3

E acabamos por aqui!

Resposta

  1. 32 3
  2. Pirâmide de base quadrada, lado 4 e altura 2.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_0^(x^2) ( x + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla.∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 = x = e , 0 = y = ln x }
Calcule a integral dupla. ∬ D y 3 d A D é a região triangular com vértices 0,2 ,( 1,1 ) e ( 3,2 ) .