Calcule ∫ ∫ S F ⋅ d S onde F ( x , y , z ) = ( 2 , z , - y ) e S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante, com orientação para fora.

Passo 1

Oiie, tudo certinho com você?

Esta é uma integral de fluxo, temos que calcular a seguinte expressão

∫ ∫ S F ⋅ d S

em que F ( x , y , z ) = ( 2 , z , - y ) e a superfície pelo qual o fluxo do campo vetorial está sendo calculado é pelo primeiro octante da seguinte esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 4

A integral de um campo vetorial através de uma superfície pode ser calculada considerando a seguinte definição

∫ ∫ S F ⋅ d S = ∫ ∫ S ( F ⋅ n ) d S   =   ∫ ∫ D F ( x , y , z ) ⋅ ( r u × r v ) d A

Ou seja, precisamos encontrar uma parametrização para a nossa esfera e calcular todos os termos necessários acima, e utilizar as especificações de nossa superfície, para calcular os limites de integração! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro vamos usar a parametrização de uma esfera dada no formulário da prova como

r ( ϕ , θ ) = ( 2   s e n ( ϕ ) c o s ( θ ) , 2   s e n ( ϕ )   s e n ( θ ) ,   2   c o s ( ϕ ) )

em que usei a = 2 pois temos uma esfera de raio a = 2 . O professor também foi bom em nos dar

r ϕ × r θ = ( 4   s e n 2 ( ϕ ) c o s ( θ ) ,   4   s e n 2 ( ϕ ) s e n ( θ ) ,   4   s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) )

Portanto, a nossa integral toma a seguinte forma

∫ ∫ D ( 2,2   c o s ( ϕ ) , - 2 s e n ( ϕ ) s e n ( θ ) ) ⋅ ( 4 s e n 2 ( ϕ ) c o s ( θ ) , 4   s e n 2 ( ϕ ) s e n ( θ ) , 4 s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) ) d A

Realizando o produto escalar, esta integral se torna

∫ ∫ D 8   s e n 2 ( ϕ ) c o s ( θ ) d A + ∫ ∫ D 8   s e n 2 ( ϕ ) c o s ( ϕ ) s e n ( θ ) d A - ∫ ∫ D 8   s e n 2 ( ϕ ) c o s ( ϕ ) s e n ( θ ) d A

Muito bem! Precisamos agora determinar os limites de integração! E, para isso, vamos utilizar a informação dada de que estamos considerando o primeiro octante de nossa esfera! Bora lá!

Passo 3

O primeiro octante de uma esfera nos dá os seguintes limites de integração para as coordenadas θ e ϕ , em que θ é o ângulo polar e ϕ é o ângulo azimutal, temos que

{ 0 < θ < π / 2 ,   0 < ϕ < π / 2 }

Temos então que, usando o elemento de área como d A = 4   s e n 2 ( ϕ ) d θ d ϕ , podemos escrever que

32 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2   s e n 4 ( ϕ ) c o s ( θ ) d θ d ϕ + 32 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2   s e n 4 ( ϕ ) c o s ( ϕ ) s e n ( θ ) d θ d ϕ - 32 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2   s e n 4 ( ϕ ) c o s ( ϕ ) s e n ( θ ) d θ d ϕ

As duas últimas integrais se eliminam, então temos que tudo isso se reduz à

32 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2   s e n 4 ( ϕ ) c o s ( θ ) d θ d ϕ

Maravilha! Agora é utilizar as regras de integração conhecidas para obter o resultado! Vamos lá!

Passo 4

Integrando primeiro em θ , temos que

∫ 0 π / 2   c o s ( θ ) d θ = s e n ( θ ) | 0 π / 2 = s e n ( π / 2 ) - s e n ( 0 )

Resultando em

∫ 0 π / 2   c o s ( θ ) d θ = 1 - 0 = 1

A integral restante é então

32 ∫ 0 π / 2 s e n 4 ( ϕ ) d ϕ

Vamos resolver ela no próximo passo, pois ela vai se expandir um pouco mais! Saca só!

Passo 5

Para integrais de seno elevados a uma potência maior que 2 é conveniente dividir o integrando em um produto da forma

32 ∫ 0 π / 2 s e n 2 ( ϕ ) s e n 2 ( ϕ ) d ϕ

Se usarmos a relação de ângulo duplo para o seno, temos que

s e n 2 ( ϕ ) = 1 2 [ 1 - c o s ( 2 ϕ ) ]

Ou seja, nosso integrando se reduz à

8 ∫ 0 π / 2 [ 1 - c o s ( 2 ϕ ) ] [ 1 - c o s ( 2 ϕ ) ] d ϕ = 8 ∫ 0 π / 2 d ϕ - 16 ∫ 0 π / 2 c o s ( 2 ϕ ) d ϕ + 8 ∫ 0 π / 2 c o s 2 ( 2 ϕ ) d ϕ

Se para a terceira integral usarmos a relação de ângulo duplo para o cosseno, temos que

c o s 2 ( 2 ϕ ) = 1 2 [ 1 + c o s ( 4 ϕ ) ]

temos que as nossas integrais se reduzem à

8 ∫ 0 π / 2 d ϕ - 16 ∫ 0 π / 2 c o s ( 2 ϕ ) d ϕ + 4 ∫ 0 π / 2 d ϕ + 4 ∫ 0 π / 2 c o s ( 4 ϕ ) d ϕ

ou seja, precisamos resolver o seguinte conjunto de integrais

12 ∫ 0 π / 2 d ϕ - 16 ∫ 0 π / 2 c o s ( 2 ϕ ) d ϕ + 4 ∫ 0 π / 2 c o s ( 4 ϕ ) d ϕ

Agora ficou um pouco mais simples, não é? Se ligou que as relações de ângulo duplo salvam a gente nessas potências de funções trigonométricas? É bom se ligar! rsrs

Vamos terminar isso!

Passo 6

Para a primeira integral simplesmente que

∫ 0 π / 2 d ϕ = ϕ | 0 π / 2 = π / 2

para as outras duas usaremos que

∫ c o s ( a ϕ ) d ϕ = 1 a s e n ( ϕ ) + C

Temos então que

∫ 0 π / 2 c o s ( 2 ϕ ) d ϕ = 1 2 [ s e n ( 2 ϕ ) ] 0 π / 2 = 1 2 [ s e n ( π ) - s e n ( 0 ) ] = 0

da mesma forma, temos que

∫ 0 π / 2 c o s ( 4 ϕ ) d ϕ = 1 4 [ s e n ( 4 ϕ ) ] 0 π / 2 = 1 4 [ s e n ( 2 π ) - s e n ( 0 ) ] = 0

Portanto, a nossa integral resulta em

∫ ∫ S F ⋅ d S = 12 ( π / 2 ) - 16 ( 0 ) + 4 ( 0 ) = 6 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S F ⋅ d S = 6 π

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