11 - Determine a área de região R delimitada pelas curvas y = x 3 , x + y = 2 e y = 0 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, vamos calcular a área da região R onde R é limitada pelas equações y = x 3 , x + y = 2 e y = 0 .

E agora? Como vamos fazer isso?? 🤔

Nesses casos, a primeira coisa que temos que fazer é analisar a região R . Se a gente plotar essas curvas no plano, vamos obter o seguinte

Com isso vemos que nossa área R é a região hachurada em roxo. Então você deve pensar que não temos como calcular essa área já que nossa região é um pouco irregular.

Mas temos um truque na manga que chamamos de integral dupla! 🐱‍👤

Como estamos querendo calcular área, nossa integral vai ser mais ou menos assim.

∫ y M i n y M a x ∫ x M i n x M a x 1 d x d y

Vamos começar a calcular nossa integral? 😁

Passo 2

Primeiro temos que definir a variação de x e y que vão fazer parte dos nossos limites de integração.

Analisando nossa região R , vemos que podemos escrever que em x (na horizontal) a região R varia entre as curvas vermelha e verde, ou seja, entre as curvas y = x 3 e x + y = 2

Isolando x em um lado das equações, temos

x = y 3 x = 2 - y

Como a curva mais distante é a vermelha, logo x = 2 - y é nosso limite x M a x e x = y 3 é nosso x M i n .

Como em x já levamos em consideração as curvas, em y vamos analisar apenas as constantes.

Observando a região vemos que a altura máxima em y é 1 e a mínima é 0 , então y M a x = 1 e y M i n = 0 .

Dessa forma, nossa integral será

∫ 0 1 ∫ y 3 2 - y 1 d x d y

Primeiro integramos com relação a x . Como nossa função de integração é uma constante, nossa integral é essa constante multiplicada pela nossa variável de integração, lembra?

∫ 1 d x = x

Aplicando os limites de integração

∫ y 3 2 - y 1 d x = 2 - y - y 3

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora com base no resultado que obtemos integramos com relação a y . Nessa integral podemos integrar pelo método de integração polinomial onde somamos 1 no expoente da variável e dividimos a variável pelo resultado dessa soma.

∫ 2 - y - y 3 d y → ∫ 2 - y - y 1 3 d y

∫ 2 - y - y 1 3 d y = 2 y - y 1 + 1 1 + 1 - y 1 3 + 1 1 3 + 1

∫ 2 - y - y 1 3 d y = 2 y - y 2 2 - y 4 3 4 3

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 1 2 - y - y 1 3 d y = 2 1 - 1 2 2 - 1 4 3 4 3 - 2 0 - 0 2 2 - 0 4 3 4 3

∫ 0 1 2 - y - y 1 3 d y = 2 - 1 2 - 1 4 3

Simplificando um pouco mais, temos

∫ 0 1 2 - y - y 1 3 d y = 2 - 1 2 - 3 4

∫ 0 1 2 - y - y 1 3 d y = 3 4

Com isso, a área da nossa região R é

∫ 0 1 ∫ y 3 2 - y 1 d x d y = 3 4

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 0 1 ∫ y 3 2 - y 1 d x d y = 3 4

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