Calcule a integral iterada

∫ 0 2 ∫ x 4 4 x 3 15 16 y 2 + 1 4 d y d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral iterada

A primeira coisa que você pensa é sair integrando, seguindo a ordem de integração: primeiro em y depois em x . Mas voc�� sabe integrar aquele y 2 que está dentro de uma raiz de índice 4 ? Eu não saberia.... e agora, o que fazer? Nossa pergunta de milhões precisa de uma resposta de milhões...

Fazendo um desenho da região! Pegando os limites de integração vemos que

x 4 ≤ y ≤ 4

0 ≤ x ≤ 2

E esboçando essa região, temos isso aqui

d x primeiro? Pois é! Nossa região ficaria a mesma, mas agora teríamos que x varia entre duas funções de y , e y de um ponto a outro!

Invertendo a ordem temos o seguinte

0 < x < y 4

0 < y < 4

Daí nossa integração começa em x !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A integral que precisamos resolver é essa

∫ 0 2 ∫ x 4 4 x 3 15 16 y 2 + 1 4 d y d x

Já sabemos que precisamos inverter os limites de integração, então nossa integral fica assim:

∫ 0 4 ∫ 0 y 4   15 16 y 2 + 1 4 x 3 d x d y

Resolvendo primeiro em x e aplicando os limites temos

∫ 0 4 15 16 y 2 + 1 4 d y x 4 4 0 y 4 = ∫ 0 4 15 16 y 2 + 1 4 y 4 4 4 - 0 d y = 1 4 ∫ 0 4 y 15 16 y 2 + 1 4 d y

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral em y !

Passo 3

Nossa integral é essa aqui

1 4 ∫ 0 4 y 15 16 y 2 + 1 4 d y

De forma indefinida fica assim

1 4 ∫ y 15 16 y 2 + 1 4 d y

Temos ~ y 2 dentro da raiz, e um y do lado de fora: isso significa que podemos usar a técnica de integração por substituição simples!

u = 15 16 y 2 + 1 → d u = 15 16 . 2 y d y

Assim temos

2 15 ∫ u 1 / 4 d y = 2 15 u 5 4 5 4 = 8 75 u 5 4

Agora é só aplicar os limites de integração!

Quando y = 0 → u = 1 , quando y = 4 → u = 16 , aí temos

8 75 ( 4 ) 5 4 - 8 75 1 5 4 = 8 75 32 - 1 = 248 75

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

248 75

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