Calcule as seguintes integrais duplas:

b)

Onde D = x , y : 0 ≤ x ≤ 1 ,     x ≤ y ≤ 2 - x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral:

∫ x 2 - x ∫ 0 1 x 2 - 2 x y   d x d y

Para resolver ela, primeiro precisamos integrar em relação à y e depois em relação a x (por conta dos limites de integração) da seguinte forma:

∫ 0 1 ∫ x 2 - x x 2 - 2 x y   d y d x

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, primeiro integrando em relação a y , temos:

∫ 0 1 ∫ x 2 - x x 2 - 2 x y   d y d x ∴

= ∫ 0 1 ∫ x 2 - x x 2   d y - ∫ x 2 - x 2 x y   d y d x ∴

= ∫ 0 1 x 2 y - x y 2 2 - x x d x ∴

= ∫ 0 1 x 2 y - x y 2 2 - x x d x ∴

= ∫ 0 1 - 2 x 3 + 7 x 2 - x 3 2 - 4 x d x ∴

Agora, integrando em relação a x , temos:

= ∫ 0 1 - 2 x 3 d x + ∫ 0 1 7 x 2 d x - ∫ 0 1 x 3 2 d x - ∫ 0 1 4 x d x ∴

= - 2 x 4 4 + 7 x 3 3 - 2 x 5 2 5 - 4 x 2 2 1 0 ∴

= - 19 42

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x 2 - x ∫ 0 1 x 2 - 2 x y   d x d y = - 19 42

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