Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

Lista 21 - UERJ – Cálculo 2 – exercício 3a

Determine o esboço da região do plano x y sobre a qual a integral é calculada:

1 2 x 2 4 x - x 2 f ( x , y ) d y d x

Passo 1

Vamos analisar os intervalos de integração que temos para x :

1 x 2

No gráfico, é o seguinte:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora para y :

x 2 y 4 x - x 2

Isso quer dizer que temos as curvas y = x 2 e y = 4 x - x 2 limitando nossa região. A primeira, nós sabemos que é uma parábola com concavidade para cima e que passa pela origem, sem grandes novidades:

Agora vamos ver a outra curva, y = 4 x - x 2 .

Como temos y de um lado e x 2 do outro, sabemos que também é uma parábola, mas repare no sinal negativo de x 2 . Isso significa que a concavidade da parábola está voltada para baixo.

E mais: temos esse termo 4 x , que significa que ela está deslocada de alguma forma. Vamos calcular suas raízes para entender melhor:

y = 4 x - x 2 = 0

x 4 - x = 0

x = 0 x = 4

Ela passa então pelos pontos ( 0,0 ) e ( 4,0 ) . Vamos desenhar isso aqui:

Passo 3

Agora vamos identificar a região:

Beleza? Tranquilo, né?

Resposta

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