Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

UFPE, Calculo 2, 2º EE - 2017.2, Questão 4a

Quarta Questão: Calcule a integral.

D   e x + y d A

onde D é a região triangular com vértices 0 ,   0 , 2 ,   4 , ( 6 ,   0 ) .

Passo 1

Pois bem! Em problemas como esse devemos sempre começar fazendo um esboço da região. Mas não se preocupe, pois fazer isso significa colocar no plano X Y todas os pontos dados e desenhar o triângulo !

O legal é que já dá pra ver que região D   estamos trabalhando! :D

Agora temos que descrever essa região! Bora?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos pensar um pouco: que tipo de descrição podemos fazer de forma que simplifique os cálculos? Do tipo 1 ou do tipo 2 ?

Bem, se fossemos colocar como do tipo 1 , o y estaria variando entre na primeira na primeira metade do triângulo entre duas retas...

e na segunda, entre outras diferentes duas retas

Então teríamos que editar duas integrais duplas. Um trabalhão, neh?

Por isso devemos escolher o Tipo 2, pois assim, colocamos o y variando em um intervalo numérico bem definido:

0 y 4

enquanto que o x varia dessa reta azul, até a verde:

A z u l x V e r d e

Falta então à gente descobrir quem são essas retas!

Passo 3

Com relação à reta azul primeiro.

Bem, precisamos encontrar a equação da reta dela e cara sabemos que toda reta no plano tem esse formato aqui

y = a x + b

No caso, devemos procurar quem é o a e quem é o b (pra isso, basta substituir os dois pontos que sabemos dela):

0 ,   0                 y = a x + b                             0 = 0 x + b

b = 0

Quanto ao a ...

2 ,   4                 y = a x + b                             4 = a 2

a = 2

logo a reta azul tem equação...

y = 2 x

como

A z u l x V e r d e

isolando o x da reta azul y = 2 x ...

y 2 x V e r d e

Agora bora fazer o mesmo para encontrar a reta verde!

Passo 4

y = a x + b

No caso da verde, semelhantemente devemos procurar quem é o a e quem é o b (substituir os dois pontos que sabemos dela):

6 ,   0                 y = a x + b                             0 = a 6 + b

b = - 6 a

Jogando o outro ponto...

2 ,   4                 y = a x + b                             4 = a 2 + b      

Substituindo b em...

4 = 2 a + - 6 a           - 4 a = 4

a = - 1

então

b = - 6 a = 6

logo a reta verde é tem equação...

y = - x + 6

como

y 2 x V e r d e

isolando o x da reta verde y = - x + 6             x = 6 - y ...

y 2 x 6 - y

Passo 5

Com os dois intervalos descobertos

0 y 4 y 2 x 6 - y

Podemos montar a integral que queremos...

D   e x + y d A = 0 4 y 2 6 - y e x + y   d x d y =

Desmembrando e x + y = e x e y ...

0 4 y 2 6 - y e x e y   d x d y

Integrando a de dentro em relação a x e, portanto, considerando e y constante...

0 4 y 2 6 - y e x + y   d x d y = 0 4 e y y 2 6 - y e x   d x d y =

0 4 e y e x y 2 6 - y d y =

0 4 e y e 6 - y - e y 2 d y =

0 4 e y + 6 - y - e y + y 2 d y =

0 4 e 6 - e 3 y 2 d y

Calculando agora a integral de fora...

0 4 e 6 - e 3 y 2 d y = 0 4 e 6 d y - 0 4 e 3 y 2 d y =

0 4 e 6 - e 3 y 2 d y = e 6 4 - 0 - 0 4 e 3 y 2 d y =

Essa outra integral pode ser resolvida fazendo uma mudança de variável...

3 y 2 = u      

d u = 3 2 d y               d y = 2 d u 3

Não esqueça de substituir os limites também, heim!

y = 0                               u = 3 2 = 0

y = 4                               u = 3 4 2 = 6

0 4 e 6 - e 3 y 2 d y = 4 e 6 - 0 6 2 3 e u d u =

0 4 e 6 - e 3 y 2 d y = 4 e 6 - 2 3 e u 0 6 =

0 4 e 6 - e 3 y 2 d y = 4 e 6 - 2 3 e 6 - e 0 =

0 4 e 6 - e 3 y 2 d y = 4 e 6 - 2 e 6 3 + 2 3 =

0 4 e 6 - e 3 y 2 d y = 10 e 6 + 2 3

Resposta

a )   10 e 6 + 2 3

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