Quarta Questão: Calcule a integral.
onde é a região triangular com vértices , .
Passo 1
Pois bem! Em problemas como esse devemos sempre começar fazendo um esboço da região. Mas não se preocupe, pois fazer isso significa colocar no plano todas os pontos dados e desenhar o triângulo !
O legal é que já dá pra ver que região estamos trabalhando! :D
Agora temos que descrever essa região! Bora?
Passo 2
Agora precisamos pensar um pouco: que tipo de descrição podemos fazer de forma que simplifique os cálculos? Do tipo ou do tipo ?
Bem, se fossemos colocar como do tipo , o estaria variando entre na primeira na primeira metade do triângulo entre duas retas...
e na segunda, entre outras diferentes duas retas
Então teríamos que editar duas integrais duplas. Um trabalhão, neh?
Por isso devemos escolher o Tipo 2, pois assim, colocamos o variando em um intervalo numérico bem definido:
enquanto que o varia dessa reta azul, até a verde:
Falta então à gente descobrir quem são essas retas!
Passo 3
Com relação à reta azul primeiro.
Bem, precisamos encontrar a equação da reta dela e cara sabemos que toda reta no plano tem esse formato aqui
No caso, devemos procurar quem é o e quem é o (pra isso, basta substituir os dois pontos que sabemos dela):
Quanto ao ...
logo a reta azul tem equação...
como
isolando o da reta azul ...
Agora bora fazer o mesmo para encontrar a reta verde!
Passo 4
No caso da verde, semelhantemente devemos procurar quem é o e quem é o (substituir os dois pontos que sabemos dela):
Jogando o outro ponto...
Substituindo em...
então
logo a reta verde é tem equação...
como
isolando o da reta verde ...
Passo 5
Com os dois intervalos descobertos
Podemos montar a integral que queremos...
Desmembrando ...
Integrando a de dentro em relação a e, portanto, considerando constante...
Calculando agora a integral de fora...
Essa outra integral pode ser resolvida fazendo uma mudança de variável...
Não esqueça de substituir os limites também, heim!
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais