2 - A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z = f x , y definida numa região R ⊂ R 2 é dada pela fórmula

A = ∫ ∫ R 1 + ∇ f x , y 2 d A

Se f é dada implicitamente pela equação F x , y , z = 0 , então

A = ∫ ∫ R ∇ F x , y , z ∂ F x , y , z ∂ z d A

onde z = f x , y e supondo que nesse caso ∂ F x , y , z ∂ z ≠ 0 no interior de R . Determine a área das seguintes superfícies:

a) A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que está no primeiro octante.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Relaxa, essa questão é um pouco confusa, mas no fim vai dar tudo certo!

Essa questão nos apresenta um modelo diferente de calcular área de uma superfície, onde

A = ∫ ∫ R 1 + ∇ f x , y 2 d A

É a expressão que nos dá esse resultado.

A superfície que vamos calcular é dada pelo plano 3 x + 2 y + z = 6 . Mas perceba que podemos escrever como z = 6 - 3 x - 2 y , transformando assim em uma função f x , y . Assim fica no formato que precisamos pra colocar na fórmula de A .

Mas como aplicamos tudo isso pra encontrar uma área? 🤔🤔

A ideia é calcular o vetor gradiente de f e aplicar em A .

Os limites de integração dados pela região R são obtidos na projeção da superfície no plano x y .

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f , lembra como é?

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Derivando z = 6 - 3 x - 2 y com relação a x , temos

∂ f ∂ x = - 3

Já com relação a y , temos

∂ f ∂ y = - 2

Logo seu gradiente é dado como

∇ f x , y = - 3 , - 2

Calculando o modulo desse vetor, temos

∇ f x , y = - 3 2 + - 2 2 = 13

Substituindo em A

A = ∫ ∫ R 1 + 13 2 d A

A = ∫ ∫ R 14 d A

E nossa região R , como vai ser?

Passo 3

Para obter os limites de integração vamos olhar para a base da nossa região, ou seja, quando z = 0

3 x + 2 y = 6

y = 3 - 3 2 x

Sabendo que queremos a parte desse plano que fica no primeiro octante, podemos plotar essa curva e visualizar a região R de forma clara.

Com isso, vemos que na vertical nossa região varia da reta y = 3 - 3 2 x até y = 0 . Já na horizontal, a variação ocorre entre 0 e 2 .

Como a variação vertical está relacionada com d y , os limites de y são 3 - 3 2 x e 0 .

Da mesma forma a variação horizontal está relacionada a d x , então os limites de x vão de 2 a 0 . Com isso, nossa integral será

∫ 0 2 ∫ 0 3 - 3 2 x 14 d y d x

Agora podemos calcular nossa integral.

Bora lá!

Passo 4

Primeiro vamos integrar com relação a y , como nossa função de integração é uma constante, sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração.

∫ 14 d y = 14 y

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 3 - 3 2 x 14 d y = 14 3 - 3 2 x - 14 0

∫ 0 3 - 3 2 x 14 d y = 3 14 - 3 14 2 x

Agora com base nesse resultado, integramos com relação a x

∫ 3 14 - 3 14 2 x d x

Pelo mesmo método anterior e pelo método de integração polinomial, onde somamos 1 na potência da variável e a dividimos pelo resultado dessa soma.

∫ 3 14 - 3 14 2 x d x = 3 14 x - 3 14 2 x 1 + 1 1 + 1

∫ 3 14 - 3 14 2 x d x = 3 14 x - 3 14 4 x 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 3 14 - 3 14 2 x d x = 3 14 2 - 3 14 4 2 2 - 3 14 0 - 3 14 4 0 2

∫ 0 2 3 14 - 3 14 2 x d x = 6 14 - 3 14

∫ 0 2 3 14 - 3 14 2 x d x = 3 14

Com isso, encontramos a área da nossa superfície como 3 14 !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

3 14

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