(Cap 15.2 – Ex 17) Calcule a integral dupla.

∬ R   x y 2 x 2 + 1 d A   ,                     R = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,   - 3 ≤ y ≤ 3 }  

Passo 1

Falaaai pessoal, tudo certinho?

Bora resolver essa comigo?

Encostaaa!

Queremos resolver uma integral dupla. Então vamos lembrar de algumas coisinhas. A área de uma região retangular é o produto das 2 dimensões, então podemos dizer que d A = d x   d y .

Então vamos reescrever a integral fazendo essa substituição e colocando os limites de integração. Lembrando que os limites de integração são os intervalos da região R

∫ - 3 3 ∫ 0 1 x y 2 x 2 + 1 d x   d y

Quando fazemos isso, podemos transformar a integral dupla num produto de integrais simples:

∫ - 3 3 ∫ 0 1 x y 2 x 2 + 1 d x   d y

= ∫ 0 1 x x 2 + 1 d x ∫ - 3 3 y 2   d y

Passo 2

Agora, basta resolver cada integral simples separadamente, olha só:

∫ 0 1 x x 2 + 1 d x ∫ - 3 3 y 2   d y

= ln ⁡ x 2 + 1 2 0 1   y 3 3 - 3 3

= 1 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 1 3 3 3 - - 3 3

= 1 6 ln ⁡ 2 - 0 27 + 27 = 9 ln ⁡ 2

Resposta

9 ln ⁡ 2

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