(Cap 15.2 – Ex 19) Calcule a integral dupla.

∬ R   x   s e n ( x + y )   d A   ,                     R = 0 , π 6 × 0 , π 3  

Passo 1

Falaiii pessoal, show de bola?

Bora lá!

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na forma seguinte:

∫ 0 π / 6 ∫ 0 π / 3 x   s e n ( x + y ) d y   d x

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x   s e n x + y d y d x

= ∫ 0 π 6 x - cos ⁡ x + y 0 π 3 d x

= ∫ 0 π / 6 x - cos ⁡ x + π 3 + cos ⁡ x d x

Passo 2

Galera, só nos restou uma integral simples pra resolver, mas preste bastante atenção que teremos que usar integração por partes:

∫ 0 π 6 x - cos ⁡ x + π 3 + cos ⁡ x d x

= x - s e n x + π 3 + s e n   x 0 π 6 - ∫ 0 π 6 1   .   - s e n x + π 3 + s e n   x d x

= - π 6 s e n π 6 + π 3 + π 6 s e n π 6 - cos ⁡ x + π 3 - cos ⁡ x 0 π 6

= - π 6 s e n π 2 + π 6 .   1 2 - cos ⁡ π 6 + π 3 + cos ⁡ π 6 + cos ⁡ 0 + π 3 - cos ⁡ 0

= - π 6 + π 12 - 0 + 3 2 + 1 2 - 1

= - π 12 + 3 2 - 1 2

= 3 - 1 2 - π 12

Beleza?

Resposta

3 - 1 2 - π 12

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