Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

UFRJ, Cálculo III, P1/2012.2, 2

Calcular a integral tripla

J = W   z   d x d y d z

Onde W é o sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies de equações x 2 + y 2 + z 2 = 4 z e z = 3 ( x 2 + y 2 ) , satisfazendo z 3 ( x 2 + y 2 ) .

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Completando o quadrado na equação da esfera, temos:

x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4

Uma esfera centrada em ( 0,0 , 2 ) de raio ρ = 2 . Como o cone está expresso na forma z = 3 ( x 2 + y 2 ) e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com z 0 (em vermelho). Tomamos a região que fica abaixo do cone porque a questão pede que z 3 ( x 2 + y 2 ) .

Como o enunciado pede a região contida no 1º octante ( x 0   e   y 0 ) , temos, então:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ sen φ cos θ  

y = ρ sen φ sen θ

z = ρ cos φ

J = ρ 2 sen φ

Passo 3

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Pela própria figura, já vemos que 0 θ π / 2 (o que corresponde ao 1º octante). Os valores de ρ , nós vemos que variam desde a origem ρ = 0 até a superfície da esfera. Vamos, então, fazer a mudança de coordenadas na sua equação:

ρ cos θ sen φ 2 + ρ sen φ sen θ 2 + ρ cos φ 2 = 4 ρ cos φ

ρ 2 sen 2 φ cos 2 θ + ( ρ 2 sen 2 φ )   s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 φ = 4 ρ cos φ

ρ 2 sen 2 φ + ρ 2 cos 2 φ = 4 ρ cos φ

ρ = 4 cos φ

Temos, então, 0 ρ 4 cos φ

Falta, então, o intervalo de φ . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde a superfície do cone até o plano x y , onde temos φ = π / 2 . Vamos, então, escrever a equação desse cone em coordenadas esféricas:

ρ cos φ = 3 ρ sen φ cos θ 2 + 3 ρ sen φ sen θ 2

ρ cos φ = 3 ρ 2 sen 2 φ cos 2 θ + 3 ( ρ 2 sen 2 φ ) sen 2 θ

ρ cos φ = 3 ρ 2 sen 2 φ   = 3 ρ sen φ

3 sen φ = cos φ   tg φ   = 3 / 3       φ = π / 6

Portanto, π / 6 φ π / 2 . A região será escrita como:

W = { ( ρ , θ , φ ) | 0 θ π / 2 ; π / 6 φ π / 2 ;   0 ρ 4 cos φ }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada.

π / 6 π / 2 0 π / 2 0 4 cos φ ( ρ cos φ ) ρ 2 sen φ   d ρ   d θ   d φ =

= π / 6 π / 2 0 π / 2 0 4 cos φ ρ 3 sen φ cos φ   d ρ   d θ   d φ =

Passo 5

Agora integraremos em relação a ρ :

= π / 6 π / 2 0 π / 2 ρ 4 4 sen φ cos φ ρ = 0 ρ = 4 cos φ   d θ   d φ =

= π / 6 π / 2 0 π / 2 256 cos 4 φ 4 sen φ cos φ   d θ   d φ =

= π / 6 π / 2 0 π / 2 64 cos 5 φ sen φ   d θ   d φ =

Passo 6

Agora vamos integrar em relação a θ :

= 64 π / 6 π / 2 θ cos 5 φ sen φ θ = 0 θ = π / 2   d φ =

= 32 π π / 6 π / 2 cos 5 φ sen φ   d φ =

Passo 7

Vamos fazer agora a substituição cos 6 φ = u , temos ( - 6 cos 5 φ sen φ d φ = d u ) e a integral passa a ser:

= 32 π π / 6 π / 2 - 1 6 d u =

cos π / 2 = 0   u = 0

cos π / 6 = 3 2 u = 27 64

= - 32 6 π - 27 64 =

Resposta

9 π 4

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