Seja f : R 3 → R função contínua. Se

∭ R f x , y , z d x d y d z = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ∫ 1 2 cos ⁡ φ f r cos ⁡ θ s e n   φ ,   r   s e n   θ   s e n   φ ,   r cos ⁡ φ   r 2   s e n   φ d r d φ d θ

Então R é:

Escolha uma:

a) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z

b) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z ,   x 2 + y 2 ≥ z

c) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z ,   x 2 + y 2 ≤ z

d) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,     x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z

e) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2

Passo 1

E aí? A ideia aqui é a gente escrever essa região R com inequações cartesianas.

Vamos reunir as informações que a gente tem para tentar entender que região é essa. Vemos que a mudança aplicada foi a de coordenadas esféricas, pois no argumento de f temos as expressões

x = r cos ⁡ θ s e n   φ  

y = r   s e n   θ   s e n   φ

z = r cos ⁡ φ

E o integrando está multiplicado pelo jacobiano dessa mudança.

E dos extremos de integração, podemos tirar essas relações:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ φ ≤ π 3

1 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ φ

Como tudo isso em mente, vamos seguir. A gente consegue!

Passo 2

Vamos substituir nossas expressões da mudança de variáveis nas inequações que a gente tem para sairmos de r , φ , θ e irmos para x , y , z .

Uma dica é começar pelos limitantes de r . Temos

1 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ φ

Vamos olhar primeiro

1 ≤ r

A gente viu que

x = r cos ⁡ θ s e n   φ ,     y = r   s e n   θ   s e n   φ ,     z = r cos ⁡ φ

E sabemos que

x 2 + y 2 + z 2 = r 2 ∴ r = ± x 2 + y 2 + z 2

Lembrando que r é sempre positovo, daí a gente tira que

r = x 2 + y 2 + z 2

Substituindo na inequação:

1 ≤ x 2 + y 2 + z 2

Elevando tudo ao quadrado

1 ≤ x 2 + y 2 + z 2

Essa está na forma cartesiana, então é parte da nossa resposta!

Passo 3

A outra é essa inequação

r ≤ 2 cos ⁡ φ

A gente precisa tirar esse φ dali. Podemos pensar em usar a expressão da mudança que tem o termo cos 2 ⁡ φ . O nosso z :

z = r cos ⁡ φ

Para ele aparecer ali, a gente pode multiplicar os dois lados da inequação por r

r 2 ≤ 2 r cos ⁡ φ

Aí a gente pode substituir as expressões que a gente tem para r 2 e para r cos ⁡ φ :

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z

Prontinho, essa é a outra parte da nossa resposta!

Aí podemos dizer que

x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z

Resposta

Letra a

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície cuja equação é dada.rho = sen theta sen varphi
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x