Dadas o conjunto T   =   { ( x ,   y ,   z )   ∈   R ³   :   1   ≤   x ²   +   y ²   +   z   ²   ≤   4 ,   z   ≥     x ²   +   y   ²   } , formule

uma integral que calcule o volume do sólido T:

c) usando integrais triplas em coordenadas esféricas. (Neste caso, resolva somente a pri-

meira integral interna)

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão pede para a gente escrever uma integral para calcular o volume da região T, definida por duas inequações. Primeiro, vamos olhar a primeira parte da primeira inequação:

1   ≤   x ²   +   y ²   +   z   ²

A gente reconhece que, quando vale a igualdade, essa expressão descreve uma esfera centrada na origem do sistema de coordenadas. No caso da inequação, estamos interessados nos pontos contidos na superfície da esfera e os pontos nas superfícies de outras esferas, com raio menor ou igual à 2, como descrito pela inequação

x ²   +   y ²   +   z   ²   ≤   4

Então, a nossa região T, está contida entre duas esferas de raio 1 e de raio 2. No entanto, há uma terceira expressão, cuja igualdade descreve um cone:

  z   ≥     x ²   +   y   ²

No caso da inequação, estamos interessados nos pontos acima da superfície cônica, mas que estejam contidos entre as esferas de raio 1 e 2. A figura a seguir ilustra a região T contida entre a esfera de raio 1, a esfera de raio 2 e o cone, respectivamente em verde, vermelho e azul.

Para descrever o volume de uma região através de uma integral, tudo o que precisamos fazer é somar os volumes infinitesimais dV dentro dos limites da região T

∫ ∫ ∫ T d V

Então, só precisamos escrever o elemento de volume em coordenadas esféricas e descobrir quais são os limites de integração para as variáveis ( r ,   θ ,   ϕ ) que descrevem a região T. Então vamos lá!

Passo 2

Em coordenadas esféricas, um infinitésimo de volume pode ser escrito em termo de variações infinitesimais das coordenadas ( r ,   θ ,   ϕ ) como:

d V   =   r ²   s e n ( θ ) d r d θ d ϕ

Então, o volume da região T é dado pela integral

∫ ∫ ∫ T r ²   s e n ( θ ) d r d θ d ϕ

Agora, só precisamos descobrir os limites de integração da região T!

Passo 3

Como a região está contida entre duas esferas de raio 1 e raio 2, temos que a coordenada r está restrita conforme:

1 ≤ r ≤ 2

Quanto ao ângulo azimutal ϕ , temos que a região contém todos os valores possíveis da coordenada, visto que a região completa “uma volta inteira” em torno do eixo z. Então, os limites de integração de ϕ são

0 ≤ ϕ < 2 π

Agora, para o ângulo polar θ , temos que a nossa região está contida entre um cone, que possui inclinação em relação ao plano xy de 45 graus. Portanto, como o ângulo é medido a partir do eixo z, temos que a coordenada θ , na região T, varia desde 0 rad até π 4 rad. Então:

0 ≤ θ ≤ π 4

Agora já podemos escrever a integral do volume com os limites apropriados de interação!

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 r ²   s e n ( θ ) d r d θ d ϕ

Resolvendo a integral interna (em r), obtemos

2 ³ 3 - 1 ³ 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4   s e n ( θ ) d θ d ϕ = 7 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4   s e n ( θ ) d θ d ϕ

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 r ²   s e n ( θ ) d r d θ d ϕ

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