Seja R a parte da região limitada pela superfície ρ ( ϕ ) = 2 s e n ( ϕ ) , externa à ρ ( ϕ ) = 3 2 c s c ( ϕ ) . Esboce o perfil da região e calcule

∫ ∫ ∫ R d V x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Temos aqui uma região R descrita em coordenadas esféricas como a região entre as superfícies

ρ ( ϕ ) =   2 s e n ( ϕ ) e ρ ( ϕ ) = 3 2 c s c ( ϕ )

precisamos usar essa região para calcular

∫ ∫ ∫ R d V x 2 + y 2 + z 2

além de esboçar a região! Para começar, vamos tentar visualizar a nossa região e então determinar limites de integração que permitam a resolução de nosso problema! Bora lá!

Passo 2

A superfície ρ ( ϕ ) = 2   s e n ( ϕ ) é como se fosse uma rosquinha da forma

e, a função ρ ( ϕ ) = 3 2 c s c ( ϕ ) é um cilindro da forma

Note que o cilindro radialmente é interno à rosquinha, portanto, nossa integração será feita a partir do cilindro até a superfície exterior. No entanto, temos a vantagem de a rosquinha ter simetria esférica, portanto, a integral poderá ser calculada em coordenadas esféricas! Saca só!

Passo 3

Se usarmos que

x = ρ   c o s ( θ )   s e n ( ϕ ) , y =   ρ   s e n ( θ )   s e n ( ϕ ) e z = ρ   c o s ( ϕ )

obtemos que x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 , usando também o elemento de volume esférico como d V =   ρ 2   s e n ( ϕ )   d r   d θ   d ϕ , em que 0 ≤ θ ≤ 2 π , 0 ≤ ϕ ≤ π e 3 2 c s c ( ϕ ) ≤ ρ ≤ 2   s e n ( ϕ ) , temos que resolver a seguinte integração

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 3 2 c s c ( ϕ ) 2   s e n ( ϕ ) ρ 2 s e n ( ϕ ) d ρ d ϕ d θ ρ 2 = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 3 2 c s c ( ϕ ) 2   s e n ( ϕ ) s e n ( ϕ ) d ρ d ϕ d θ

É necessário fazer a integral em ρ primeiro, mas esta é bastante direta, temos que

∫ 3 2 c s c ( ϕ ) 2   s e n ( ϕ ) d ρ = ρ | 3 2 c s c ( ϕ ) 2   s e n ( ϕ ) = 2 s e n ( ϕ ) - 3 2 c s c ( ϕ )

De forma que nos resta resolver

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 3 2 c s c ( ϕ ) 2   s e n ( ϕ ) s e n ( ϕ ) d ρ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n ( ϕ ) [ 2 s e n ( ϕ ) - 3 2 c s c ( ϕ ) ] d ϕ d θ

Vamos resolver as integrais que faltam! Saca só!

Passo 4

TEmos que resolver a seguinte integral

∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n ( ϕ ) [ 2 s e n ( ϕ ) - 3 2 c s c ( ϕ ) ] d ϕ d θ = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n 2 ( ϕ ) d ϕ d θ - 3 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 π d ϕ d θ

note que c s c ( ϕ ) = 1 / s e n ( ϕ ) , por isso simplificamos o segundo integrando acima. Vamos resolver a integral mais complicada primeiro. Usando que s e n 2 ( ϕ ) = 1 2 [ 1 - c o s ( 2 ϕ ) ] temos que

∫ 0 π s e n 2 ( ϕ ) d ϕ = 1 2 ∫ 0 π d ϕ - 1 2 ∫ 0 π c o s ( 2 ϕ ) d ϕ

Aqui temos simplesmente que

∫ 0 π d ϕ = ϕ | 0 π = π

e, também que

∫ 0 π c o s ( 2 ϕ ) d ϕ = 1 2 s e n ( ϕ ) | 0 π = 0

De forma que

∫ 0 π s e n 2 ( ϕ ) d ϕ = π 2 - 0 = π / 2

Nos restando as seguintes integrais

2 ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n 2 ( ϕ ) d ϕ d θ - 3 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 π d ϕ d θ = π ∫ 0 2 π d θ - 3 π 2 ∫ 0 2 π d θ

note que já substituí a integral em ϕ no segundo termo, já que mostrei o resultado dela enquanto resolvia a integral anterior, belezinha? Bora só escrever o nosso resultado final agora!

Passo 5

A integral que resta é identificada como

∫ 0 2 π d θ = θ | 0 2 π = 2 π

Portanto, temos que a nossa integral se torna

∫ ∫ ∫ R d V x 2 + y 2 + z 2 = 2 π 2 - 3 π 2 = - π 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ ∫ R d V x 2 + y 2 + z 2 = - π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície cuja equação é dada.rho = sen theta sen varphi
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x