Calcule o volume da região do espaço limitada pelo elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que a gente calcule volume da região do espaço limitada pelo seguinte elipsoide:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Bom... O volume V da região limitada pelo elipsoide pode ser calculada usando a integral tripla:

A = ∭ d V D

Onde D é o domínio da região limitada pela elipsoide.

Assim, para simplificar nossos cálculos, podemos escolher coordenadas esféricas para simplificar a integral:

x = a ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = b ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

z = c ρ cos ⁡ ϕ

Onde ρ varia de 0 a 1 , θ varia de 0 a 2 π e ϕ varia de 0 a π .

Também devemos ter em mente que a Jacobiana da transformação das coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas é:

J = a b c ρ 2

O que significa que o volume d V em coordenadas esféricas é:

d V = sin ⁡ ϕ   d ρ   d θ   d ϕ

Agora vamos juntos!!

😉

Passo 2

Então... reescrevendo a integral em coordenadas elípticas e resolvendo, temos:

V = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 a b c ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ρ   d θ   d ϕ ∴

V = a b c ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ρ   d θ   d ϕ ∴

V = ∫ 0 π sin ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ρ 2 d ρ ∴

V = a b c * - cos ⁡ ϕ π 0 * ρ 3 3 1 0 * 2 π ∴

V = 4 3 a b c π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

V = 4 3 a b c π

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