Seja T a região do espaço definida pelas desigualdades:

T : 0 ≤ x ≤ 9 - y 2 ,   0 ≤ y ≤ 3 ,   0 ≤ z ≤ 9 - x 2 + y 2

(c) Escreva

∭ T z x 2 + y 2 + z 2 d V

Como uma integral repetida (iterada), sem contudo efetuar os cálculos, usando coordenadas esféricas, e calcule o valor da integral.

Passo 1

Para escrever a região em coordenadas esféricas é bom a gente fazer um esboço.

Vamos olhar primeiro os limites de z , ele vai de 0 até 9 - x 2 + y 2 , mas quem é essa segunda equação aí?

z = 9 - x 2 + y 2

z 2 = 9 - x 2 + y 2

x 2 + y 2 + z 2 = 9

Como os limite é apenas a raiz positiva, temos a metade superior da esfera de raio 3 .

Olhando os limites de y agora, ele vai de 0 até 9 - x 2

y = 9 - x 2

x 2 + y 2 = 9

Então também se trata da raiz positiva, agora do círculo de raio 3 no plano x y . O esboço fica assim

Passo 2

Em coordenadas esféricas, temos que

x = ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

y = ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

z = ρ cos ⁡ ϕ

J = ρ 2 sen ⁡ ϕ

Passo 3

O limite do raio ρ aqui é apenas a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 , portanto o intervalo de integração de ρ é

0 ≤ ρ ≤ 3

Temos dois jeitos de descobrir os limites dos ângulos ϕ e θ . Se olharmos para o esboço, vemos que a nossa esfera está apena no primeiro octante, certo?

Isso implica que θ vai apenas até π / 2 , e o ângulo ϕ também vai até π / 2 . Com isso

0 ≤ ϕ ≤ π 2

0 ≤ θ ≤ π 2

Se você não conseguiu enxergar esse ângulo ϕ isso pelo gráfico, tente treinar um pouquinho mais isso, mas existe um segundo caminho, pensa o seguinte:

Nossa esfera está limitada pelo plano z = 0 , com as novas variáveis, sabemos que

ρ cos ⁡ ϕ = 0

cos ⁡ ϕ = 0

ϕ = π 2

Por fim, vamos substituir as novas variáveis na função dentro da integral

z x 2 + y 2 + z 2

= ρ cos ⁡ ϕ ρ 2

= ρ 2 cos ⁡ ϕ

Passo 4

Bom, sabemos os limites, vamos montar a integral sem esquecer J = ρ 2 sen ⁡ ϕ

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 2 cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 4 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 5

Aqui ele pede pra resolver a integral né, vamos lá

Integrando em relação a ρ

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ ρ 5 5 0 3 d ϕ d θ

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 243 5 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

Vamos fazer uma substituição pra integrar isso aqui em ϕ

u = sen ⁡ ϕ

d u = cos ⁡ ϕ d ϕ

ϕ = 0 → u = sen ⁡ 0 = 0

ϕ = π 2 → u = sen ⁡ π 2 = 1

Voltando pra integral

243 5 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 u d u d θ

Fácil de integrar agora né

= 243 5 ∫ 0 π 2 u 2 2 0 1 d θ

= 243 5 ∫ 0 π 2 1 2 d θ

Integrando em θ

243 10 θ 0 π / 2

= 243 10 π 2

= 243 π 20

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 4 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ = 243 π 20

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Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x