Calcule a integral

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z d z d x d y

transformando-a para um sistema de coordenadas conveniente.

Passo 1

Vamos retirar da integral as informações que a gente tem sobre o domínio, para entender quem ele é e depois descreve-lo em outras coordenadas.

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z d z d x d y

Daí a gente tira que

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2

- 4 - y 2 ≤ x ≤ 4 - y 2

- 2 ≤ y ≤ 2

Temos que essas duas integrais de fora descrevem uma região no plano x y . Vamos entender que região é essa. Vimos que

- 4 - y 2 ≤ x ≤ 4 - y 2

Repara que isso é o mesmo que dizer que x está entre as metades da circunferência: y 2 + x 2 = 4 . Ela tem raio 2 e centro na origem.

E como - 2 ≤ y ≤ 2 . Podemos desenhar essa região assim:

Como o nosso domínio tem forma de círculo no plano x y , e z está definido bem entre duas funções, a gente pode usar as coordenadas cilindricas e fazer as mudanças:

x = r cos ⁡ θ ,     y = r sen ⁡ θ ,     z = z

x 2 + y 2 = r 2

j a c = r

Então para escrever os extremos de integração, limitamos essas variáveis que a gente tem: z ,   θ e r . Bora lá!

Passo 2

Vamos chamar nosso domínio de W . Queremos calcular

∭ W x z d V

Sendo que o eixo z está assim:

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2

Ao aplicar as nossas transformações aí, ficamos com

r 2 ≤ z ≤ 2

r ≤ z ≤ 2

Limitamos o z ! Vamos seguir!

Passo 3

E θ e r ? Definir elas é parecido com definir uma região em x y por coordenadas polares. A gente viu que estamos dentro da circunferência x 2 + y 2 = 4 , aí podemos escrever que

x 2 + y 2 ≤ 4

Substituindo nossas transformações nessa inequação:

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ ≤ 4 ∴ r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ ≤ 4

r 2 1 ≤ 4 ∴ r ≤ 2

E como não há mais restrições, podemos assumir:

0 ≤ r ≤ 2 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Belezinha?

Obs: a gente também podia limitar essas variáveis desse passo olhando o esboço da região x 2 + y 2 ≤ 4 em x y . Aí fica mais a seu critério mesmo.

Passo 4

Agora é montar a integral. Primeiro a gente substitui nossa transformação no nosso integrando:

x = r cos ⁡ θ ,   y = r   s e n   θ ,   z = z

∭ W x z d V

∫ ∫ ∫ W z r cos ⁡ θ d z d r d θ

Depois a gente multiplica ele por j a c = r

∫ ∫ ∫ W z r 2 cos ⁡ θ d z d r d θ

Aí a gente pode colocar nossos extremos de integração:

r ≤ z ≤ 2

0 ≤ r ≤ 2 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 z r 2 cos ⁡ θ d z d r d θ

Passo 5

Bora calcular essa belezura:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 z r 2 cos ⁡ θ d z d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 z 2 2 r 2 cos ⁡ θ r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 r 2 cos ⁡ θ - r 4 2 cos ⁡ θ d r d θ

∫ 0 2 π 2 r 3 3 cos ⁡ θ - r 5 10 cos ⁡ θ 0 2 d θ = ∫ 0 2 π 16 3 c o s θ - 32 10 cos ⁡ θ d θ

∫ 0 2 π 64 30 cos ⁡ θ d θ = 0

Resposta

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z d z d x d y = 0

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