Considere a região espacial definida por

U = x , y , z ∈ R 3   |   1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 ,   z ≥ 0

Calcule

I = ∫ ∫ ∫ U z x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

Passo 1

Primeiro, vamos dar uma analisada na região que estamos integrando? Esse deve ser sempre o primeiro passo, vai ajudar muito a visualizar!

A primeira desigualdade diz que x 2 + y 2 + z 2 está entre 1 e 2 . Bom, sabemos que x 2 + y 2 + z 2 = R 2 é a equação de uma esfera de raio R né? Então, essa região se trata do volume entre as esferas centradas na origem de raio 1 e 2 !

A segunda desigualdade diz que z ≥ 0 , ou seja, tomando esse volume entre as duas esferas, estamos apenas na parte superior, com z positivo ;)

Juntando essas duas informações em uma imagem, é a região entre as calotas vermelha e verde:

Passo 2

Agora, podemos ir na fé com coordenadas esféricas! Chamando:

x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Show! E a região U , como ela fica? Colocando as novas coordenadas, teremos:

U = x , y , z ∈ R 3   |   1 ≤ ρ 2 ≤ 2 ,   ρ cos ⁡ ϕ ≥ 0

Tirando a raiz dos dois lados na primeira desigualdade, teremos:

U = x , y , z ∈ R 3   |   1 ≤ ρ ≤ 2 ,   ρ cos ⁡ ϕ ≥ 0

Pelo desenho, vemos que θ varia entre 0 e 2 π , enquanto ϕ varia entre 0 e π 2 , show?

Passo 3

Colocando os limites e o novo sistema de coordenadas, e, claro, sem esquecer do jacobiano, a integral fica:

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 . ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ρ d ϕ d θ

Cortando os ρ 2 , fica:

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ   d ρ d ϕ d θ

Integrando em relação a ρ , teremos:

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ρ 2 2 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ 1 2 d ϕ d θ

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 1 2 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ d ϕ d θ

Show!

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a ϕ . Para isso, temos que lembrar que sin ⁡ 2 ϕ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ . Colocando essa relação a integral, temos:

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 1 2 sin ⁡ 2 ϕ . 1 2 d ϕ d θ

E podemos integrar tranquilamente sin ⁡ 2 ϕ , o que dá:

I = ∫ 0 2 π 1 2 1 2 . - cos ⁡ 2 ϕ . 1 2 0 π 2 d θ

I = ∫ 0 2 π 1 2 . 1 4 + 1 4 d θ

E, agora, podemos integrar em relação a θ , que dá:

I = ∫ 0 2 π 1 4 d θ

I = 1 4 θ 0 2 π = π 2

Resposta

A integral dá π 2

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Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
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Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x