(Capítulo 15.9 – Exercício 9) Escreva a equação em coordenadas esféricas.

(a) z 2 = x 2 + y 2

(b) x 2 + z 2 = 9

Passo 1

E vamosss de coordenadas esféricas

Nesse exercício, temos duas equações com as coordenadas x , y e z , e aí queremos escrever essas equações com coordenadas esféricas

Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas esféricas para encontrarmos os pontos em coordenadas retangulares equivalentes.

As relações entre coordenadas esféricas ρ , ϕ , θ e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Desta forma fica fácil, né? Vamos lá!

Passo 2

(a) Temos a equação:

z 2 = x 2 + y 2

Substituindo pelas relações que vimos no item anterior:

z 2 = x 2 + y 2 ↔ ρ cos ⁡ ϕ 2 = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ 2

ρ cos ⁡ ϕ 2 = ρ ² sen ² ⁡ ϕ cos ² ⁡ θ + ρ ² sen ² ⁡ ϕ sen ² ⁡ θ

ρ cos ⁡ ϕ 2 = ( ρ ² sen ² ⁡ ϕ ) ( cos ² ⁡ θ + sen ² ⁡ θ )

Então:

z 2 = x 2 + y 2 ↔ ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ = ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ ↔ tg 2 ⁡ ϕ = 1

Passo 3

(b) Temos

x 2 + z 2 = 9

Substituindo as relações:

x 2 + z 2 = 9 ↔ ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ ϕ 2 = 9

ρ ² sen ² ⁡ ϕ cos ² ⁡ θ + ρ ² cos ² ⁡ ϕ = 9

ρ ² ( sen ² ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ ) = 9

E fimmm

Resposta

(a) tg 2 ⁡ ϕ = 1

(b) ρ ² ( sen ² ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ ) = 9

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