Seja E a região sólida corresponde à calota esférica acima do plano z = 3 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 . Escreva a integral correspondente ao volume da região E :

a) Utilizando coordenadas cilíndricas.

b) Utilizando coordenadas esféricas.

c) Escolha uma das integrais dos itens a) ou b) e resolva para encontrar o volume da região E .

Passo 1

a) Cara, ele diz que temos uma região que está acima de z = 3 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 . E nos pede o volume.

Para achar esse volume a gente pode montar uma integral tripla.

V = ∭ E 1 d V

E como ele pede, vamos começar usando as coordenadas cilíndricas.

Para usar coordenadas cilíndricas para descrever essa região, a gente precisa fazer a mudança de variáveis:

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z ,     j a c = r

E limitar r ,   θ e z . Aí como a gente faz isso? Primeiro vamos olhar para o eixo z . Nele a gente diz entre quais superfícies nossa região está.

Se a nossa região está abaixo da esfera e acima de z = 3 , ela está em z ≥ 0 . Podemos dizer, então, que ela está abaixo da parte de cima da nossa esfera, que tem essa equação:

x 2 + y 2 + z 2 = 2 2 ∴ z = 2 2 - x 2 - y 2

E acima do plano z = 3 . E aí podemos dizer que z está limitado dessa forma:

3 ≤ z ≤ 2 2 - x 2 - y 2

Passo 2

Limitar r e θ é como percorrer a região do plano x y onde a região E está contida, só que em coordenadas polares.

Para gente, essa região vai ser a parte do plano x y que está dentro da projeção da interseção entre a esfera e o plano z = 3 . Vamos achar a equação dessa interseção:

x 2 + y 2 + z 2 = 2 2 ,   z = 3 ∴ x 2 + y 2 + 3 = 4 ∴ x 2 + y 2 = 1

Temos então, a região dentro da circunferência de raio 1.

Como é um círculo completo, a gente diz que:

0 ≤ θ ≤ 2 π

E como r é o segmento que sai da origem e vai até a borda do círculo:

0 ≤ r ≤ 1

Ufa! Vamos seguir.

Passo 3

Agora é escrever a integral. A tem que colocar os extremos de integração, aplicar a mudança de variáveis no integrando e multiplicar o integrando por j a c = r . Aí fazendo essas coisinhas, ficamos com:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 3 2 2 - x 2 - y 2 r d z d r d θ

Só falta aplicar a mudança de variáveis nos extremos de integração

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z

x 2 + y 2 = r 2

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 3 4 - r 2 r d z d r d θ

Prontinho!

Passo 4

b) Vamos fazer agora com as coordenadas esféricas. Precisamos fazer a mudança:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,   y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ,   z = ρ cos ⁡ ϕ

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

J a c = ρ 2 s e n   ϕ

Como a gente está abaixo da parte de cima da esfera, podemos dizer que estamos do lado de dentro da esfera, assim:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4

Substituindo as expressões das coordenadas:

ρ 2 ≤ 4 ∴ ρ ≤ 2

E como a gente está acima do plano z = 3 , podemos dizer que

3 ≤ z

Substituindo nossas expressões

3 ≤ ρ cos ⁡ ϕ ∴ 3 cos ⁡ ϕ ≤   ρ

Aí o ρ fica assim:

3 cos ⁡ ϕ ≤   ρ ≤ 2

θ é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas, então ele vai ter esse intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 5

Falta limitar ϕ . Como a gente faz isso? Cara, podemos usar as informações do item anterior. A gente viu que a projeção da nossa região é um círculo de raio 1 . E ela está limitada pelo plano está na altura z = 3 .

A gente tem então, tipo uma calota de carro na altura z = 3 . Se a gente olhar uma vista lateral da nossa região, temos algo assim:

Temos que ϕ é o ângulo que sai do eixo z e vai até a reta que sai da origem e passa pelo ponto x , z = 1 , 3 . É o ângulo verdinho.

Aí para achar ele, a gente pode usar identidades trigonométricas.

t g   ϕ = 1 3 ∴ ϕ = π 6

Aí nosso ϕ fica:

0 ≤ ϕ ≤ π 6

Passo 6

Agora é escrever a integral. Aí tem que colocar os extremos de integração, aplicar a mudança de variáveis e multiplicar o integrando por j a c = ρ 2 s e n   ϕ . Aí fazendo essas coisinhas, ficamos com:

V = ∭ E 1 d V

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 6 ∫ 3 cos ⁡ ϕ 2 ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

Prontinho!

Passo 7

c) Chegamos no grande momento. Que integral usar? A mais fácil! E qual é? A que tem o integrando e os extremos de integração mais simples.

Comparando as duas, vemos que uma tem extremos com funções trigonométricas no denominador. Isso é já é uma dica de que a primeira é melhor.

Percebe que o integrando da primeira é só o r . Então ele também é mais simples. Vamos então de coordenadas cilíndricas! Calculando essa belezura:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 3 4 - r 2 r d z d r d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 - r 2 - 3 r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 - r 2 d r - ∫ 0 1 3 d r d θ

Vamos usar a substituição simples nessa que tem a raiz:

u = 4 - r 2 , d u d r = - 2 r ∴ d u - 2 = d r

u 1 = 4 - 0 = 4 ,     u 2 = 4 - 1 = 3

V = ∫ 0 2 π ∫ 4 3 - 1 2 u d u - ∫ 0 1 3 r d r d θ

V = ∫ 0 2 π 1 2 - 2 3 u 3 2 4 3 + 3 r 2 2 0 1 d θ = ∫ 0 2 π - 3 + 8 3 + 3 2 d θ

V = 2 π - 3 + 8 3 + 3 2 = - 2 π 3 + 16 π 3 - 3 π = - 3 π 3 + 16 π 3

Uhul! Arrasamos!

Resposta

a)

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 3 4 - r 2 r d z d r d θ

b)

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 6 ∫ 3 cos ⁡ ϕ 2 ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

c)

V = - 3 π 3 + 16 π 3

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Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
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