O volume de um sólido S é dado pela seguinte integral tripla em coordenadas cilíndricas:

V o l S = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 ∫ z 1 - z 2 r d r d z d θ

a) Mude a integral acima para coordenadas cartesianas explicitando os limites de integração.

b) Mude a integral acima para coordenadas esféricas explicitando os limites de integração.

c) Calcule V o l S .

Passo 1

a) Vamos reunir as informações que a gente tem para tentar entender que região é essa. Ele diz que a integral está em coordenadas cilíndricas. Isso significa, que valem essas relações entre r , θ , z e x , y , z :

x 2 + y 2 = r 2 ,     x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z

E dos extremos de integração, podemos tirar essas relações:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ z ≤ 2 2

z ≤ r ≤ 1 - z 2

Mas repara que a integral tripla está multiplicada por 2, o que significa que nossa região é simétrica (metades iguais), e a integral tripla apenas descreve uma de suas metades.

Como tudo isso em mente, vamos seguir. A gente consegue!

Passo 2

Vamos substituir nossas expressões da mudança de variáveis nas inequações que a gente tem para sairmos de r , θ , z e irmos para x , y , z .

Temos

z ≤ r ≤ 1 - z 2

A gente viu que

x 2 + y 2 = r 2 ,     x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z

Lembrando que r é sempre positovo, daí a gente tira que

r = x 2 + y 2

Substituindo na inequação:

z ≤ x 2 + y 2 ≤ 1 - z 2

Elevando tudo ao quadradoo

z 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1 - z 2

Tiramos duas inequações cartesianas daí:

z 2 ≤ x 2 + y 2

Isso representa uma região abaixo de um cone para z ≥ 0 .

Porque abaixo? Repara que os valores de z 2 (nosso variável da altura ao quadrado) são menores que o resto da expressão do cone. Isso significa, que nossa região está em valores menores de z do que z 2 = x 2 + y 2 , quando z ≥ 0 . Ou seja, abaixo de um cone.

E a temos outra inequação:

x 2 + y 2 ≤ 1 - z 2 ∴ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

E isso é a inequação para representar a parte interior a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Passo 3

Olhando as outras inequações:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Essa diz que nossa região está dando a volta completa em relação ao eixo z .

0 ≤ z ≤ 2 2

E essa diz que nossa região está entre z = 0 e z = 2 2 . Ou seja, entre x y e o plano que passa pela intereseção entre o cone e a esfera (para confirmar isso é só igualar as expressões de z 2 das duas equações).

Com tudo isso, vemos que a integral tripla descreve a metade de cima da região dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e fora do cone z 2 = x 2 + y 2 , sem outras restrições. E o volume calculado é toda essa região. Vamos esboçar só para ter uma ideia:

É a região dentro dessa superfície azul e fora da superfície vermelha.

Passo 4

A gente precisa montar uma integral que descreva o volume dessa região, mas em x , y , z . Então precisamos achar extremos de integração para essas variáveis.

Como é um volume de uma região simétrica, a gente pode só descrever a metade superior e multiplicar a integral por 2 .

Agora, cê concorda comigo, que o volume dessa metade da região exterior ao volume do cone é o volume da semiesfera menos o volume dessa parte em forma de pião que a gente tem ali no meio (região dentro da esfera e dentro do cone)?

Então nossa integral pode ficar:

V = 2 V o l u m e   d a   s e m i e s f e r a - V o l u m e   d o   p i ã o

V = 2 ∫ ∫ ∫ s e m i e s f e r a 1 d V - ∫ ∫ ∫ c o n e 1 d V

Passo 5

Vamos montar essas integrais. Vamos limitar x , y , z .

- Semiesfera

Cara, em z , nossa região está entre o plano x y e a parte de cima da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Então a gente pode escrever

x y ∴ z = 0

x 2 + y 2 + z 2 = 1 ∴ z = 1 - x 2 - y 2

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

E x e y descrevem o círculo de raio 1 x 2 + y 2 ≤ 1 . Ele é a interseção da esfera com o plano x y . A gente pode descrever ele em coordenadas cartesianas assim

- 1 ≤ x ≤ 1

Já que sei raio é 1 .

- 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2

Isso significa que y está entre as metades da circunferência x 2 + y 2 = 1 .

Passo 6

- Pião

Cara, em z , nossa região está entre o cone z 2 = x 2 + y 2 e a parte de cima da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Então a gente pode escrever

z 2 = x 2 + y 2 ∴ z = x 2 + y 2

x 2 + y 2 + z 2 = 1 ∴ z = 1 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

E x e y descrevem o círculo que é limitado pela curva de interseção entre essas duas superfícies. Vamos achar ela

x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,     z 2 = x 2 + y 2

x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1 ∴ 2 x 2 + y 2 = 1 ∴ x 2 + y 2 = 1 2

A gente pode descrever ele em coordenadas cartesianas assim

- 2 2 ≤ x ≤ 2 2

Já que sei raio é 1 2 = 2 2 .

- 1 2 - x 2 ≤ y ≤ 1 2 - x 2

Isso significa que y está entre as metades da circunferência x 2 + y 2 = 1 2 .

Nossa integrais ficam assim

V = 2 ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 1 d z d y d x - ∫ - 2 2 2 2 ∫ - 1 / 2 - x 2 1 / 2 - x 2 ∫ x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2 1 d z d y d x

Passo 7

b) Cara, a gente quer descrever a nossa região que está dentro da esfera e fora do cone:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,     z 2 ≤ x 2 + y 2

Descrever essa região em coordenadas esféricas é aplicar as mudanças

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,   y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ,   z = ρ cos ⁡ ϕ

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

J a c = ρ 2 s e n   ϕ

E montar uma integral limitando ρ ,   θ ,   ϕ .

Passo 8

Para fazer isso, a gente vai substituir nossas expressões para mudanças de variáveis nas equações do domínio:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

z 2 ≤ x 2 + y 2

Começando nessa, vamos ter:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

ρ 2 = 1

Já que ρ ≥ 0 :

ρ = 1

E a gente assume que ele começa do zero:

0 ≤ ρ ≤ 1

Passo 9

E olhando para a outra equação:

z 2 ≤ x 2 + y 2

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,   y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ,   z = ρ cos ⁡ ϕ

ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ 2

ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ = ρ 2 s e n 2 ϕ ( sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ) ∴ ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ = ρ 2 s e n 2 ϕ

Já que sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 . E podemos escrever

s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ ϕ = 1 ∴ 1 = t g 2   ϕ ∴ t g   ϕ = ± 1

a r c t g + 1 = ϕ ∴ π 4 = ϕ

a r c t g + = ϕ ∴ 3 4 π = ϕ

Isso porque ϕ está sempre dentro de [ 0 , π ] . Então a gente escreve

π 4 ≤ ϕ ≤ 3 π 4

Como a gente não tem mais informações, podemos assumir que θ dá a volta completa e as outras variáveis começam do zero:

0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ ϕ ≤ π 4 ,     0 ≤ ρ ≤ 1

Agora é montar a integral bonitinha. Para calcular o volume, a gente calcula uma integral tripla com argumento igual a 1. Aí aplicando a mudança de variáveis, os extremos de integração que a gente achou e multiplicando o argumento da integral pelo j a c :

V = ∫ ∫ ∫ D 1 d z d y d x = ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 1 ρ 2   s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 10

c) Agora é calcular essa integral que a gente acabou de montar

V = ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 1 ρ 2   s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 ρ 3 3   s e n   ϕ 0 1 d ϕ d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 1 3 s e n   ϕ   d ϕ d θ = 1 3 ∫ 0 2 π - cos ⁡ ϕ π 4 3 π 4 d θ = 1 3 ∫ 0 2 π - - 2 2 - 2 2 d θ

V = 1 3 ∫ 0 2 π 2 d θ = 2 2 π 3

Prontinho!

Resposta

V = 2 2 π 3

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