Determine ∭ W x 2 + y 2 + z 2 3 d V , onde W é a esfera de raio 2 centrada na origem

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema pediu para calcular essa integral

∭ W x 2 + y 2 + z 2 3 d V

E temos que W é uma esfera de raio 2 .

Como temos todas coordenadas ao quadrado vamos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, a esfera de raio 2 fica assim

ρ = 2

0 < θ < 2 π

0 < ϕ < π

E o integrando?

Bom sabemos que em esféricas

x 2 + y 2 + z 2 = ρ

Então nosso integrando

x 2 + y 2 + z 2 3 = ρ 3 = ρ 3

Agora que sabemos como fica nosso integrando e como escrever uma esfera de raio 2 , podemos transformar a integral dada em uma integral em coordenadas esféricas! E confia, fica muito mais fácil de se resolver quando temos as coordenadas apropriadas!

Tranquilo até aqui?

Bora começar?

Passo 2

Nosso volume W é

0 < ρ < 2

0 < θ < 2 π

0 < ϕ < π

Nosso integrando é

x 2 + y 2 + z 2 3 = ρ 3

E o diferencial de volume em esféricas é

d V = ρ 2   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Tudo bem até aqui? Agora vamos montar nossa integral tripla

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 2 ρ 5   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

beleza?

Passo 3

Agora é #partiu resolver! Começando em ρ

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 2 ρ 5   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ 6 6 0 2 d ϕ   d θ = 2 5 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n ϕ   d ϕ   d θ

Beleza?

Agora em ϕ

2 5 3 ∫ 0 2 π - cos ⁡ ϕ 0 π d θ = 2 5 3 ∫ 0 2 π - - 1 + 1 d θ = 2 6 3 ∫ 0 2 π d θ

E por fim em θ

2 6 3 . θ 0 2 π = 2 6 3 . 2 π = 128 π 3

Ufa! Terminamos!

Até a próxima!

Resposta

128 π 3

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