Calcule ∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V , onde E está contida entre x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante.

Passo 1

Vamos começar dando uma olhada em como é a essa região E aí. Essa região de integração está entre aquelas duas superfícies ali que tem exatamente a equação da esfera com centro na origem:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

A primeira é uma esfera com raio 1 e a segunda é a esfera de raio 2 . Dá uma olhada na representação dessas esferas aqui:

Como o problema nos fala que é a região entre essas duas esferas e que está no primeiro octante, temos que ter esse volume em amarelo aqui:

Como estamos falando de um volume associado à esferas e na nossa integral temos termos de x 2 , y 2 e z 2 vale a pena representarmos esse volume usando as coordenadas esféricas:

x = r   c o s θ s e n ϕ y = r   s e n θ s e n ϕ z = r cos ⁡ ϕ J = r 2 s e n ϕ Nessas coordenadas, então, temos que o nosso volume é representado por

1 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ π 2 0 ≤ ϕ ≤ π 2

Passo 2

Que integral horrorosa para resolvermos hein?! Mas olha só, se usarmos as coordenadas esféricas a gente já tem que x 2 + y 2 + z 2 = r 2 , então vamos reescrever essa integral para algo que a gente consiga resolver usando os limites da região que a gente já encontrou

∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V =   ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 e r 2 J d r d ϕ d θ =   ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 e r r 2 s e n ϕ d r d ϕ d θ

Já melhorou né? Caímos em uma integral tripla iterada sob uma região retangular e a gente pode reescrevê-la como sendo o produto de três integrais:

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 e r r 2 s e n ϕ d r d ϕ d θ = ∫ 0 π 2 d θ . ∫ 0 π 2 s e n   ϕ d ϕ . ∫ 1 2 e r r 2 d r

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral em r :

∫ 1 2 e r r 2 d r

Para isso, vamos usar o método das integrais por partes escolhendo u = r 2 , d v = e r d r , com isso temos

d u = 2 r   d r v = e r

Então usamos que ∫ u d v = u v - ∫ v d u   e temos

∫ 1 2 e r r 2 d r = r 2 e r | 1 2 -   ∫ 1 2 e r 2 r d r = 2 2 e 2 - 1 2 e 1 - 2 ∫ 1 2 e r r d r = 4 e 2 - e - 2 ∫ 1 2 e r r d r

Para resolver essa última integral vamos ter que usar de novo o método das integrais por partes escolhendo u ' = r e d v ' = e r d r . Com isso a gente obtém

d u ' = d r v ' = e r

E escreve

= 4 e 2 - e - 2 . ( r . e r ) | 1 2 -   ∫ 1 2 e r d r = 4 e 2 - e - 2 .   2 . e 2 - 1 . e 1 - ( e r ) | 1 2 = 4 e 2 - e - 2 .   2 e 2 - e - e 2 + e = 2 e 2 - e

Finalmente a gente tem

∫ 1 2 e r r 2 d r = 2 e 2 - e

Passo 4

A integral em θ é mais direta

∫ 0 π 2 d θ = π 2 - 0 = π 2

Passo 5

Agora podemos resolver a integral em ϕ

∫ 0 π 2 s e n   ϕ d ϕ = - cos ⁡ ϕ | 0 π 2 =   cos ⁡ ϕ | π 2 0 = cos ⁡ 0 - cos ⁡ π 2   = 1 - 0 = 1

Passo 6

Juntando todos os nossos resultados temos que

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 e r r 2 s e n ϕ d r d ϕ d θ = π 2 . 1 .   2 e 2 - e = π e 2 2 e - 1

Resposta

π e 2 2 e - 1

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Identifique a superfície cuja equação é dada.rho = sen theta sen varphi
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x