Calcule E = ∫ ∫ ∫ z   d V , sendo E o sólido limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , z = 3 x 2 + y 2 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos encontrar E = ∫ ∫ ∫ z   d V , sendo E o sólido limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , z = 3 x 2 + y 2 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

Ou seja, graficamente temos:

Passo 2

Bom... em coordenadas esféricas, temos:

z = r cos ⁡ θ  

E que

d x   d y   d z = r 2   s e n   ϕ   d r   d ϕ   d θ  

Além disso, temos então que 0 < r < 2 , 0 < θ < 2 π e π 4 < ϕ < π 3 .

Passo 3

Agora, integrando, temos:

∫ 0 2 π ∫ π 4 π 3 ∫ 0 2 r cos ⁡ θ   * r 2   s e n   ϕ   d r   d ϕ   d θ   d r   d θ   d z   ∴

∫ 0 2 π ∫ π 4 π 3 4 cos ⁡ ϕ s e n   ϕ   d ϕ   d θ ∴

∫ 0 2 π 4 8 d θ ∴

= π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= π

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