Calcule as integrais:

(a) ∭ B x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z , onde B é a bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral tripla sobre a região B , que é a bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .

Então, temos uma esfera de raio menor ou igual a 1 e nada mais justo que usar as coordenadas esféricas pra nos ajudar, certo? Elas são dadas pelas relações:

x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

J = ρ 2 sin ⁡ ϕ

No caso da esfera, ela vai ser escrita por:

E s f e r a = ρ ,   θ ,   ϕ |   0 ≤ ρ ≤ a ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ ϕ ≤ π

Onde a é o raio da esfera, então para a bola B , vamos ter ρ ,   θ ,   ϕ |   0 ≤ ρ ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ ϕ ≤ π . Esses vão ser os limites de integração da integral tripla que vamos calcular.

∭ B x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

Vamos lá!

Passo 2

Como a gente já determinou nossos limites de integração no passo anterior, vamos agora dar uma olhadinha no nosso integrando, x 2 + y 2 + z 2 , e colocar ele em coordenadas esféricas:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ ϕ 2

Elevando ao quadrado:

ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ

Colocando ρ 2 em evidência e agrupando os termos:

ρ 2 ( sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ )

ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ )

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , temos:

ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

E a gente pode aplicar a identidade novamente, sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 . Então, temos:

ρ 2 1 = ρ 2

Passo 3

Agora podemos montar nossa integral:

∭ B x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

Usando B = ρ ,   θ ,   ϕ |   0 ≤ ρ ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ ϕ ≤ π , o integrando que encontramos no passo anterior e o Jacobiano J = ρ 2 sin ⁡ ϕ (não podemos esquecer dele quando fazemos uma transformação de coordenadas, tá?). Fica assim:

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 2 ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ρ d θ d ϕ

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 4 sin ⁡ ϕ   d ρ d θ d ϕ

Integrando primeiro em relação a ρ :

∫ 0 π ∫ 0 2 π ρ 5 5 0 1 sin ⁡ ϕ d θ d ϕ

Aplicando os limites de integração em ρ :

∫ 0 π ∫ 0 2 π 1 5 - 0 5 sin ⁡ ϕ d θ d ϕ = ∫ 0 π ∫ 0 2 π 1 5 sin ⁡ ϕ d θ d ϕ

Colocando a constante do lado de fora da integral e integrando em relação a θ , temos:

1 5 ∫ 0 π ∫ 0 2 π sin ⁡ ϕ d θ d ϕ

= 1 5 ∫ 0 π sin ⁡ ϕ θ 0 2 π d ϕ

Aplicando os limites de integração em θ :

1 5 ∫ 0 π sin ⁡ ϕ 2 π - 0 d ϕ

= 2 π 5 ∫ 0 π sin ⁡ ϕ d ϕ

Integrando em relação a ϕ :

2 π 5 - cos ⁡ ϕ 0 π

Aplicando os limites:

2 π 5 ( - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 )

= 2 π 5 - - 1 + 1 = 2 π 5 ( 2 )

= 4 π 5

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 π 5

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