Determine o volume do sólido W dado por

W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x - 1 2 + y 2 + z 2 ≤ 1   e   z ≥ x 2 + y 2 }

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido.

Temos uma esfera de raio ρ = 1 centrada em ( 1,0 , 0 ) e a folha superior de um cone (pois a raiz deve ser positiva).

Queremos a região que está dentro da esfera de raio 1 (pois o enunciado pede x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 )e, ao mesmo tempo, acima do cone ( z ≥ x 2 + y 2 ). Fazendo esses cortes, teremos então:

Passo 2

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n   φ

Passo 3

Precisamos agora escrever matematicamente a região de integração.

Os limites de θ são difíceis de enxergar, mas note que toda região está na parte positiva de x , então podemos afirmar que cos ⁡ θ ≥ 0 , com isso - π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 . Graficamente, se projetarmos o sólido no plano x y fica assim:

Com essa imagem também concluímos que x ≥ 0 e com isso - π / 2 ≤ θ ≤ π / 2

Os valores de ρ , nós vemos que variam desde a origem até a superfície da esfera., vamos, então, escrevê-la em coordenadas esféricas:

x - 1 2 + y 2 + z 2 = 1   → x 2 + y 2 + z 2 = 2 x

ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 φ s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ

ρ 2 s e n 2 φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ

ρ = 2   s e n   φ   c o s   θ

Temos, então 0 ≤ ρ ≤ 2   s e n   φ   c o s   θ .

Falta agora o intervalo de φ . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo z , onde temos φ = 0 até a superfície do cone. Vamos, então, escrever a equação desse cone em coordenadas esféricas:

ρ cos ⁡ φ = ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2

ρ cos ⁡ φ = ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ( ρ 2 s e n 2 φ )   s e n 2 θ

ρ cos ⁡ φ = ρ 2 s e n 2 φ   = ρ   s e n   φ

s e n   φ = cos ⁡ φ   → t g   φ = 1     →   φ = π / 4

Portanto, 0 ≤ φ ≤ π / 4 . A região será escrita como:

W = { ( ρ , θ , φ ) | – π / 2 ≤ θ ≤ π / 2   ; 0 ≤ φ ≤ π / 4 ;   0 ≤ ρ ≤ 2   s e n   φ   c o s   θ

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 π / 4 ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2   s e n   φ   c o s   θ ρ 2 s e n   φ   d ρ   d θ   d φ =

Passo 5

Agora integraremos em relação a ρ :

= ∫ 0 π / 4 ∫ - π / 2 π / 2 ρ 3 3 s e n   φ ρ = 0 ρ = 2   s e n   φ   c o s   θ   d θ   d φ =

= 1 3 ∫ 0 π / 4 ∫ - π / 2 π / 2 8   s e n 4 φ cos 3 ⁡ θ   d θ   d φ =

Passo 6

Vamos rearrumar a integral dessa forma:

= 1 3 ∫ 0 π / 4 ∫ - π / 2 π / 2 8   s e n 4 φ 1 - s e n 2 θ cos ⁡ θ   d θ   d φ =

E fazer a substituição s e n   θ = u , cos ⁡ θ d θ = d u :

= 1 3 ∫ 0 π / 4 ∫ - 1 1 8   s e n 4 φ 1 - u 2   d u   d φ =

= 8 3 ∫ 0 π / 4 s e n 4 φ u - u 3 3 u = - 1 u = 1 d φ =

= 8 9 ∫ 0 π / 4 s e n 4 φ 3 u - u 3 u = - 1 u = 1 d φ =

= 8 9 ∫ 0 π / 4 4   s e n 4 φ d φ = 32 9 ∫ 0 π / 4   s e n 4 φ d φ =

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos usar a fórmula do arco duplo s e n 2 φ = 1 - cos ⁡ 2 φ 2 :

= 32 9 ∫ 0 π / 4   s e n 2 φ 2 d φ = 32 9 ∫ 0 π / 4   1 - cos ⁡ 2 φ 2 4 d φ =

= 8 9 ∫ 0 π / 4 1 - 2 cos ⁡ 2 φ + cos 2 ⁡ 2 φ d φ =

Usando a fórmula novamente, temos c o s 2 2 φ = 1 + cos ⁡ 4 φ 2 :

= 8 9 ∫ 0 π 4 1 - 2 cos ⁡ 2 φ + 1 + cos ⁡ 4 φ 2 d φ =

= 4 9 ∫ 0 π / 4 2 - 4 cos ⁡ 2 φ + 1 + cos ⁡ 4 φ d φ =

= 4 9 3 φ - 4 s e n 2 φ 2 + s e n 4 φ 4 0 π / 4 =

= 4 9 3 π 4 - 2 =

Resposta

3 π - 8 9

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x