Utilize as coordenadas esféricas

x = r s e n ( θ ) c o s ⁡ ( φ ) y = r s e n θ s e n ( φ ) z = r c o s ( φ )

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ s e n ( φ ) , r s e n θ s e n ( φ ) , r c o s ( φ ) r 2 s e n ( φ ) d V

Onde R = (   x = r s e n ( θ cos ⁡ φ ,   y = r s e n θ s e n φ , z = r c o s ( φ   )   ∈ R 3 / ( r , θ , φ )   ∈ R 3 ' }

b ) ∭ R e x 2 + y 2 + z 2   d v   onde R é a região hemisférica que está no primeiro octante e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9

Passo 1

Bem pessoas, essa é uma questão padrão de integração tripla. Ele deu não integral bonitinha, então precisamos desenhar resolver utilizando a mudança de coordenadas para as esféricas.

Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.

Você lembra deles?

CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrario vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?

Então vaaaaaaaaaaaamos lá

Passo 2

Primeiramente, precisamos entender qual é a região de integração. A região é toda parte superior de uma esfera de raio 1, ou seja, o gráfico deve ser algo assim:

Analisando a figura vemos que os ângulos variam da seguinte forma:

0 ≤   φ ≤ π 2

0 ≤ θ ≤ π 2

E com o raio variando de 0 até 3.

Bem utilizando as coordenadas esféricas e substituindo na nossa integral, temos que:

DICA: ahhh lembrar que x 2 + y 2 + z 2 = r 2 .

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 e r r 2 s e n φ d r d θ d φ

Passo 3

Como os limites de integração não depende das variáveis, não é importante definir a ordem que você integração.

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 e r r 2 s e n φ d r d θ d φ = ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 π 2 s e n φ d φ ∫ 0 3 e r r 2 d r

Utilizando o seguinte resultado:

∫ 0 π 2 s e n φ d φ = 1

Temos que:

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 e r r 2 s e n φ d r d θ d φ = π 2 ∫ 0 3 e r r 2 d r

Para resolver essa integral vamos utilizar a integração por partes, vamos definir u = r 2 e d v = e r d r .

Logo temos que:

∫ 0 3 e r r 2 d r = r 2 e r   3 0 - ∫ 0 3 e r r d r = 9 e 3 - 2 ∫ 0 3 e r r d r

E para resolver essa integral vamos precisar de integração por partes mais uma vez, chamando u = r e d v = e r d r . Temos:

∫ 0 3 e r r d r = e r r 3 0 - ∫ 0 3 e r d r = 3 e e - e 3 + 1

Substituindo na integral anterior

9 e 3 - 2 ∫ 0 3 e r r d r = 9 e 3 - 6 e 3 + 2 e 3 + 2 = 5 e 3 - 2

E substituindo na primeira integral, finalmente temos a solução

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 e r r 2 s e n φ d r d θ d φ = π 2 ∫ 0 3 e r r 2 d r = π 2 ( 5 e 3 - 2 )

Resposta

π 2 ( 5 e 3 - 2 )

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