Considere o sólido W que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , acima do plano z = 0 e abaixo do cone z = x 2 + y 2 3 . Calcule o volume de W utilizando coordenadas:

(b) Esféricas.

Passo 1

Caraca, que região é essa?

Passo 2

Primeiro passo tá dado! Agora é lembrar como que a gente acha o volume usando as coordenadas esféricas. Primeiro, essas são as substituições:

x = ρ s e n φ c o s θ

y = ρ s e n φ s e n θ

z = ρ c o s φ

J = ρ 2 s e n φ

Passo 3

Bom, vamos lá então, analisando os intervalos temos que lembrar em que sentido variam as variáveis.

Vemos que ρ varia simplesmente de zero a 2, nosso θ da uma volta completa, então varia de zero a 2 π , e o φ começa na parede do cone, quem tem φ = π 3 e vai até z = 0   que é   φ = π 2 .

O volume fica então

∭ R 1 . J   d V

∫ 0 2 π ∫ π 3 π 2 ∫ 0 2 ρ 2 s e n φ d ρ d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ π 3 π 2 s e n φ ρ 3 3 0 2 d φ d θ =

8 3   ∫ 0 2 π - cos ⁡ φ π 3 π 2 d θ =

8 3 . 1 2 . θ 0 2 π =

= 8 π 3 u . v .

Resposta

8 π 3 u . v .

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x