Calcule o volume do sólido S que se encontra no interior da esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 9 e acima da folha superior do cone de equação z 2 = 3 ( x 2 + y 2 ) .

Passo 1

Bora lá, primeiro passo pra o sucesso é a gente conhecer a região que a gente está trabalhando.

Nosso sólido entá dentro da esfera, e dentro da parte superior do cone, que está no eixo z positivo.

Passo 2

Como a questão nos pede o volume, isso nada mais é do que

V o l S = ∭ S 1   d V

Passo 3

Pra resolver essa integral tripla, o método mais fácil é por coordenadas esféricas. Então:

x 2 + y 2 + z 2 = 9 →   ρ = 3

z 2 = 3 x 2 + y 2 → ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 3 ( ρ 2   s e n 2 φ   c o s 2 θ +   ρ 2 s e n 2 φ   s e n 2 θ )

( cos 2 ⁡ φ ) 1 3 =   s e n 2 φ ( s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ )

t g 2 φ = 1 3

φ = π 6

Passo 4

Então agora vamos colocar no papel nossos intervalos!

0 ≤ θ ≤ 2 π

Uma vez que o θ da uma volta completa.

0 ≤ φ ≤ π 6

0 ≤ ρ ≤ 3

Passo 5

Montando a integral então, sem esquecer o J :

∫ 0 2 π ∫ 0 π 6 ∫ 0 3 ρ 2 s e n φ   d ρ d φ d θ

∫ 0 2 π d θ   ∫ 0 π 6 s e n   φ   d φ   ∫ 0 3 ρ 2 d ρ

2 π . 27 3 ∫ 0 π 6 s e n   φ d φ =

18 π - c o s 0 π 6

= 9 π ( 2 - 3 )

Resposta

9 π ( 2 - 3 )

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Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
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Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x