(Capítulo 15.9 – Exercício 39) Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x y   d z   d y   d x

Passo 1

Salvee pessoal! Aqui vamos resolver uma integral tripla, transformando as coordenadas para coordenadas esféricas ok?

Precisamos primeiro escrever a integral em coordenadas esféricas e daí calculá-la.

Note que a variável z (que é a do terceiro símbolo de integral) vai de z = x 2 + y 2 (cone) até z = 2 - x 2 - y 2 (parte de cima de uma esfera).

Para transformarmos para coordenadas esféricas, vamos lembrar que

x = ρ . s e n ϕ . c o s θ  

y = ρ . s e n ϕ . s e n θ

z = ρ . c o s ϕ

Então boraaaa

Passo 2

Escrevendo as superfícies limitantes de z em coordenadas esféricas, começando pelo cone:

z ≥ x 2 + y 2

ρ c o s   ϕ   ≥ ( ρ . s e n ϕ . c o s θ ) ² + ( ρ . s e n ϕ . s e n θ ) ²

ρ c o s   ϕ   ≥ ρ ² . s e n ² ϕ . c o s ² θ + ρ ² . s e n ² ϕ . s e n ² θ

ρ c o s   ϕ   ≥ ρ ² . s e n ² ϕ . ( s e n ² θ + c o s ² θ )

Lembrando que s e n ² θ + c o s ² θ = 1 , temos

ρ c o s   ϕ   ≥ ρ ² . s e n ² ϕ

ρ c o s   ϕ   ≥ ρ   s e n   ϕ

ρ / ρ   ≥   s e n   ϕ / c o s   ϕ

t g   ϕ ≤ 1

Então:

0 ≤ ϕ ≤ π 4

Agora para o limite superior, que é a esfera:

z ≤ 2 - x 2 - y 2

ρ c o s   ϕ ≤ 2 - ( ρ . s e n ϕ . c o s θ ) ² - ( ρ . s e n ϕ . s e n θ ) ²

ρ c o s   ϕ ≤ 2 - ρ ² . s e n ² ϕ . c o s ² θ - ρ ² . s e n ² ϕ . s e n ² θ

ρ c o s   ϕ ≤ 2 - ρ ² . s e n ² ϕ . ( s e n ² θ + c o s ² θ )

ρ c o s   ϕ ≤ 2 - ρ ² . s e n ² ϕ

2 - ρ ² . s e n ² ϕ ≥ ρ ² c o s ²   ϕ

2 ≥ ρ ² c o s ²   ϕ + ρ ² . s e n ² ϕ

Então:

2 ≥ ρ ² ( c o s ²   ϕ + s e n ² ϕ )

ρ ² ≤ 2

ρ ≤ 2

Passo 3

Além disso, como no plano x y o y vai de 0 até 1 - x 2 e x varia no intervalo [ 0,1 ] , temos que nos restringir apenas ao primeiro quadrante: 0 ≤ θ ≤ π / 2 .

Assim, usando essas conversões e as do passo anterior, a integral pode ser reescrita como:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x y   d z   d y   d x = ∫ 0 2 d ρ ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 π 4 ( ρ   s e n   ϕ c o s   θ )   ⋅ ( ρ   s e n   ϕ   s e n   θ ) ⋅ ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

Assim, deixando cada integral com sua respectiva variável:

∫ 0 2 ρ 4   d ρ ∫ 0 π / 2 s e n   θ c o s   θ     d θ ∫ 0 π / 4 s e n 3 ϕ   d ϕ

Agora bora resolver!!

Passo 4

Temos 3 integrais pra resolver

∫ 0 2 ρ 4   d ρ ∫ 0 π / 2 s e n   θ c o s   θ     d θ ∫ 0 π / 4 s e n 3 ϕ   d ϕ

A primeira integral:

∫ 0 2 ρ 4   d ρ = ρ 5 5 0 2 = 4 2 5

Já a segunda, podemos fazer por substituição, porque repara que a gente tem uma função e a sua derivada na mesma integral :P

Então, fazendo u = s e n   θ , temos d u = c o s   θ   d θ

∫ 0 π / 2 s e n   θ c o s   θ     d θ = ∫ 0 1 u   d u = 1 2

Por fim, na terceira integral vamos escrever s e n 3 ϕ = s e n ϕ . s e n ² ϕ = s e n ϕ . ( 1 - c o s ² ϕ )

∫ 0 π / 4 s e n 3 ϕ   d ϕ = ∫ 0 π / 4 s e n ϕ . ( 1 - c o s ² ϕ )   d ϕ

Fazendo u = c o s   ϕ   , temos d u = - s e n   ϕ   d ϕ

∫ 0 π / 4 s e n ϕ . ( 1 - c o s ² ϕ )   d ϕ = - ∫ 2 / 2 1 1 - u 2   d u

Assim,

∫ 0 π / 4 s e n 3 ϕ   d ϕ = - u - u 3 3 2 2 1 = - ( 1 - 2 2 - 1 3 1 - 1 2 2 ) = - ( 1 - 1 3 - 2 2 + 2 12 ) = - 2 3 + - 5 2 12

Passo 5

Portanto, juntando os nossos resultados

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x y   d z   d y   d x = 4 2 5 ⋅ 1 2 ⋅ 1 3 - 2 + - 5 2 4 = 2 15 - 2 2 + 5 2

Ufa, conseguimos!!

Resposta

2 15 - 2 2 + 5 2

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