Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 957

Calcule B   e x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z , onde B é a bola unitária:

B = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 1 }

Passo 1

Precisamos escrever matematicamente essa região. Como B é limitada por uma esfera e a função a ser integrada possui termos quadráticos, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos φ

J = ρ 2 s e n   φ

Como já vimos, a região de integração passa a ser, então:

B = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ρ 1 ; 0 θ 2 π ; 0 φ π }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada. Sabemos que x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 em coordenadas esféricas. Temos, então:

0 π 0 2 π 0 1 e ρ 2 3 / 2 ρ 2 s e n   φ d ρ   d θ   d φ = 0 π 0 2 π 0 1 e ρ 3 ρ 2 s e n   φ d ρ   d θ   d φ =

Passo 3

Fazendo a substituição ρ 3 = u , temos 3 ρ 2 d ρ = d u . A integral passa a ser:

= 1 3 0 π 0 2 π 0 1 e u s e n   φ d u   d θ   d φ =

= 1 3 0 π 0 2 π s e n   φ e u u = 0 u = 1   d θ   d φ =

= 1 3 0 π 0 2 π s e n   φ ( e - 1 ) d θ   d φ =

Passo 4

Agora, integramos em relação a θ :

= ( e - 1 ) 3 0 π s e n   φ   θ θ = 0 θ = 2 π   d φ =

= 2 π ( e - 1 ) 3 0 π s e n   φ   d φ =

Passo 5

Finamente, integramos em relação a φ :

= - 2 π ( e - 1 ) 3 cos φ 0 π =

= - 2 π e - 1 3 - 1 - - 2 π e - 1 3 =

= 2 π e - 1 3 + 2 π e - 1 3 =

Resposta

4 π e - 1 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas