(Capítulo 15.9 – Exercício 40) Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.

∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 ∫ - a 2 - x 2 - y 2 a 2 - x 2 - y 2 ( x 2 z + y 2 z + z 3 )   d z   d x   d y

Passo 1

Salvee pessoal! Aqui vamos resolver uma integral tripla, transformando as coordenadas para coordenadas esféricas ok?

Note que z varia da parte inferior da esfera de raio a até a parte superior, então podemos fazer a restrição ρ ≤ a .

No plano x y , y varia de - a até a , enquanto x vai da parte inferior da circunferência de raio a até a superior. O domínio de integração vai ser limitado pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . Assim, 0 ≤ ρ ≤ a , 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ ϕ ≤ π .

Passo 2

Agora vamos olhar para o integrando:

x 2 z + y 2 z + z 3 = z   ( x 2 + y 2 + z 2 )

Em coordenadas esféricas:

x 2 z + y 2 z + z 3 = ρ cos ⁡ ϕ ⋅ ρ 2 = ρ 3 cos ⁡ ϕ

Portanto

∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 ∫ - a 2 - x 2 - y 2 a 2 - x 2 - y 2 ( x 2 z + y 2 z + z 3 )   d z   d x   d y = ∫ 0 a d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π ρ 3 cos ⁡ ϕ ⋅ ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

Passo 3

Assim,

∫ 0 a ρ 5   d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π s e n   ϕ cos ⁡ ϕ   d   ϕ

A primeira integral é

∫ 0 a ρ 5   d ρ = a 6 6

Desta forma,

∫ 0 a ρ 5   d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π s e n   ϕ cos ⁡ ϕ   d   ϕ = π a 6 3 ∫ 0 π s e n   ϕ cos ⁡ ϕ   d   ϕ

Essa última integral é calculada fazendo u = s e n   ϕ ⇒ d u = cos ⁡ ϕ   d ϕ :

∫ 0 a ρ 5   d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π s e n   ϕ cos ⁡ ϕ   d   ϕ = π a 6 3 ∫ 0 0 u   d u = 0

Portanto,

∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 ∫ - a 2 - x 2 - y 2 a 2 - x 2 - y 2 ( x 2 z + y 2 z + z 3 )   d z   d x   d y = 0

Conseguimooos

Resposta

0

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