Calcule

∭ B ( x 2 + y 2 + z 2 ) d x d y d z

Onde B é a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos pediu para calcularmos essa integral tripla:

∭ B ( x 2 + y 2 + z 2 ) d x d y d z

Onde os limites de integração são essa esfera aqui

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9

Como temos uma integral tripla e a região de interesse é uma esfera, então é interessante usarmos coordenadas esféricas! Então a ideia aqui é transformar todo esse integrando em coordenadas esféricas, assim como a região dos limites de integração.

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos dar uma olhada com mais carinho na nossa integral tripla:

∭ B ( x 2 + y 2 + z 2 ) d x d y d z

Vamos trocar primeiro o diferencial. Em retangulares é esse aí que vemos

d x d y d z

Mas em esféricas fica assim:

ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

Beleza?

E o integrando? O integrando fica assim:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Que lembra uma equação de esfera! Por isso a facilidade de integrar em esféricas essa coisa!

Nossa integral ficou assim:

∭ B ρ 2 .   ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ = ∭ B ρ 4 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

Beleza até aqui!

Passo 3

Agora vamos arrumar os limites de integração!

A região é dentro da esfera de raio 3 centrada na origem:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9

Então o raio vai de 0 até 3 :

0 ≤ ρ ≤ 3

ϕ e θ ? Olha como eles estão definidos em uma esfera

Como queremos a região total da esfera o ϕ varia de 0 até π (da porção positiva do eixo z até a negativa) e θ de 0 até 2 π . Assim nossa integral com os limites fica assim:

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 3 ρ 4 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

Tudo bem até aqui?

Vamos calcular essa integral? Bora lá!

Passo 4

Como não temos função/limite de integração, nada que dependa de θ , então podemos transferir o d θ para a última integral (a mais de fora) e já resolver. Podemos também resolver a mais interna (que depende de ρ ), tudo junto. Aí temos o seguinte

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 3 ρ 4 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π [ ∫ 0 3 ρ 4 d ρ ] s e n ϕ d ϕ = θ 0 2 π . ∫ 0 π s e n ϕ   d ϕ .   ρ 5 5 0 3

Agora é só aplicar nos limites:

= 2 π 3 5 5 ∫ 0 π s e n ϕ   d ϕ

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Agora vamos calcular a última integral em ϕ :

= 2 π 3 5 5 ∫ 0 π s e n ϕ   d ϕ = 2 π 3 5 5 - cos ⁡ ϕ 0 π = 2 π 3 5 5 - - 1 - - + 1

= 2 π 3 5 5 2 = 4.3 5 π 5 = 972 π 5

Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

972 π 5

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