Seja E o sólido no primeiro octante, interior ao cilindro x 2 + y 2 - 2 y = 0 , exterior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 , abaixo do parabolóide z = 9 - x 2 - y 2 e acima do parabolóide z = 1 + x 2 + y 2 . Calcule

∫ ∫ ∫ E x x 2 + y 2 d V .

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Temos que calcular a seguinte integral tripla

∫ ∫ ∫ E x x 2 + y 2 d V

a região E é delimitada por uma série de superfícies, acima temos o parabolóide z = 9 - x 2 - y 2 e abaixo o parabolóide z = 1 + x 2 + y 2 . Mas, ele é lateralmente limitado para se manter dentro do primeiro octante (coordenadas x , y , z positivas), e entre os cilindros x 2 + y 2 - 2 y = 0 e x 2 + y 2 = 1 . Essa região é um pouco complicada de visualizar, então vamos com calma, tudo bem? Todos estes elementos têm uma certa simetria cilíndrica (assim como o integrando), portanto, vamos usar coordenadas cilíndricas e ver o que obtemos! Bora lá!

Passo 2

As coordenadas cilíndricas tem a forma

x = r   c o s ( ϕ )

y =   r   s e n ( ϕ )

z = z

e, o elemento de volume nestas coordenadas se torna d V = r   d r   d ϕ   d z . A integral que precisamos resolver é então da forma

∫ a b ∫ c d ∫ e f r   c o s ( ϕ ) r 2 c o s 2 ( ϕ ) + r 2 s e n 2 ( ϕ ) r   d r   d ϕ   d z = ∫ a b ∫ c d ∫ e f c o s ( ϕ )   d r   d ϕ   d z

Já parece mais simples, certo? Vamos discutir um pouco os limites de integração agora! Vamos dar uma olhadinha em nossos cilindros, temos que

Note que o ângulo ϕ vai até o limite do octante que é π / 2 , mas ele começa a ser contado na interseção entre o cilindro azul e o cilindro vermelho, que são dados em coordenadas cilíndricas pelas equações

r 2 = 1 e r 2 - 2 r   s e n ( ϕ ) = 0

Note então que a coordenada radial começa em r = 1 , este também é valor de r , em que ocorre a interseção, portanto, temos que ϕ obedece o vínculo

1 - 2   s e n ( ϕ ) = 0

ou simplesmente

s e n ( ϕ ) = 1 2

que é verdade para ϕ = π / 6 . O ângulo polar está então no intervalo [ π / 6 , π / 2 ] . Usando também a equação do segundo cilindro, temos que a coordenada radial tem limite superior dado por

r 2 - 2 r   s e n ( ϕ ) = 0

ou simplesmente

r = 2   s e n ( ϕ )

Portanto, os primeiros limites que obtemos são

∫ a b ∫ c d ∫ e f c o s ( ϕ )   d r   d ϕ   d z = ∫ π / 6 π / 2 ∫ 1 2 s e n ( ϕ ) ∫ e f c o s ( ϕ )   d r   d ϕ   d z

Faltam apenas os limites da coordenada z , bora lá!

Passo 3

Por último, temos que o nosso sólido é delimitado superiormente pelo parabolóide z = 9 - x 2 - y 2 e inferiormente pelo parabolóide z = 1 + x 2 + y 2 , portanto, em nossas coordenadas, temos que

z = 9 - r 2 e z = 1 + r 2

e, a nossa integral se torna

∫ π / 6 π / 2 ∫ 1 2 s e n ( ϕ ) ∫ 1 + r 2 9 - r 2 c o s ( ϕ )   d z d r   d ϕ  

Esses limites nos obrigam a integrar primeiro em z , depois em r , e por último em ϕ . Já que ϕ é o único que tem limites constantes. Então vamos lá! Comecemos pela integral em z ! Saca só!

Passo 4

A integral em z é tal que

∫ 1 + r 2 9 - r 2   d z

que pode ser identificada como

∫ 1 + r 2 9 - r 2   d z = z | 1 + r 2 9 - r 2 = 9 - r 2 - 1 - r 2

ou simplesmente

∫ 1 + r 2 9 - r 2   d z = z | 1 + r 2 9 - r 2 = 8 - 2 r 2

Substituindo o resultado em nossa integral, temos que

∫ π / 6 π / 2 ∫ 1 2 s e n ( ϕ ) ∫ 1 + r 2 9 - r 2 c o s ( ϕ )   d z d r   d ϕ = ∫ π / 6 π / 2 ∫ 1 2 s e n ( ϕ ) [ 8 - 2 r 2 ] c o s ( ϕ )   d r   d ϕ    

Precisamos resolver a integral em r agora! Bora lá!

Passo 5

As nossa integral pode ser dividida em duas da seguinte maneira

∫ π / 6 π / 2 ∫ 1 2 s e n ( ϕ ) [ 8 - 2 r 2 ] c o s ( ϕ )   d r   d ϕ = 8 ∫ π / 6 π / 2 ∫ 1 2 s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) d r   d ϕ - 2 ∫ π / 6 π / 2 ∫ 1 2 s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) r 2 d r d ϕ  

Ambas integrais em r podem ser identificadas fazendo

∫ a b r n d r = r n + 1 n + 1 | a b

Portanto, temos dois resultados

∫ 1 2 s e n ( ϕ ) d r = r | 1 2 s e n ( ϕ ) = 2 s e n ( ϕ ) - 1

∫ 1 2 s e n ( ϕ ) r 2 d r = r 3 3 | 1 2 s e n ( ϕ ) = 1 3 [ 8   s e n 3 ( ϕ ) - 1 ]

A nossa integral se torna então

8 ∫ π / 6 π / 2 [ 2 s e n ( ϕ ) - 1 ] c o s ( ϕ )   d ϕ - 2 3 ∫ π / 6 π / 2 [ 8   s e n 3 ( ϕ ) - 1 ] c o s ( ϕ ) d ϕ  

Uff… Falta só a integral em ϕ agora! Vamos lá!

Passo 6

Vamos dividir a nossa integral em quatro, temos que

16 ∫ π / 6 π / 2 s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) d ϕ - 8 ∫ π / 6 π / 2 c o s ( ϕ ) d ϕ - 16 3 ∫ π / 6 π / 2 s e n 3 ( ϕ ) c o s ( ϕ ) d ϕ + 2 3 ∫ π / 6 π / 2 c o s ( ϕ ) d ϕ

Temos a integral que pode ser identificada diretamente como

∫ π / 6 π / 2 c o s ( ϕ ) d ϕ = s e n ( ϕ ) | π / 6 π / 2 = 1 2

Agora, para as outras duas que faltam, é conveniente usar a substituição

u = s e n ( ϕ ) e d u = c o s ( ϕ ) d ϕ

e, como u ( π / 6 ) = 1 / 2 e u ( π / 2 ) = 1 , temos que resolver duas integrais

∫ π / 6 π / 2 s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) d ϕ = ∫ 1 / 2 1 u d u

∫ π / 6 π / 2 s e n 3 ( ϕ ) c o s ( ϕ ) d ϕ = ∫ 1 / 2 1 u 3 d u

Ambas podem ser obtidas usando que

∫ a b u n d u = u n + 1 n + 1 | a b

de forma que temos

∫ 1 / 2 1 u d u = u 2 2 | 1 / 2 1 = 3 8

e, da mesma forma

∫ 1 / 2 1 u 3 d u = u 4 4 | 1 / 2 1 = 15 64

Sendo assim, temos o seguinte resultado final

16 ( 3 8 ) - 8 ( 1 2 ) - 16 3 ( 15 64 ) + 2 3 ( 1 2 ) = 6 - 4 - 5 4 + 1 3

que é equivalente à

2 + 4 - 15 12 = 24 - 11 12 = 13 12

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

13 12

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície cuja equação é dada.rho = sen theta sen varphi
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x