Calcule via coordenadas esféricas.
Passo 1
Pois bem, a primeira coisa que a gente tem que ter em mente para resolver esse exercício é a sólido. Então vamos começar com uma pergunta: quem é esse sólido?
Pra responder essa pergunta, vamos começar tirando da integral definida os intervalos de variação de , e
EPA!!! Espera aí um momento! Apareceu uma configuração bem típica. Uma região do tipo 1, pois está variando em um intervalo numérico bem definido e entre funções, se lembra?! :D
Mas ainda está um pouco complicado de ver que região é essa, não está? Vamos fazer o seguinte, vamos passar essa raiz aí para o outro lado
Jogando esse também pro lado esquerdo...
Veja! É um círculo de raio dois! Mas queremos apenas a parte onde é negativo e positivo, ou seja
Pois bem, ainda nos falta ver onde está variando:
Preste a atenção na igualdade. Podemos utilizar o mesmo artifício acima e tirar essa raiz daí
Olha que interessante, chegamos em uma esfera! Mas queremos apenas a parte de baixo dela, pois .
Juntando essa informação com a informação da variação de e e formos para o espaço...
Passo 2
Note que é perfeito aplicar coordenadas esféricas aí!
Onde o Jacobiano vale
Perfeito! Agora a gente tem que procurar a variação dessas novas variáveis. Vem comigo!
Passo 3
Veja que varia no plano no sentido anti-horário positivo, logo, ele entrará no nosso sólido em e vai até . Ou seja
Quanto ao ângulo , podemos perceber que ele desce no sentido positivo, então ele também entrará no sólido em e sairá em .
Por fim, o raio varia da origem até o limite de raio da esfera que é . :)
Passo 4
Prontinho! Agora é só correr para o abraço e resolver essa integral aí! :D
Trocando essas variáveis aí pelas novas coordenadas... ah! Cuidado para não esquecer do produto pelo jacobiano!
Simplificando mais um pouquinho...
Resolvendo primeiro a integral de dentro em relação a , obteremos
Considerando constante agora e integrando em relação a fazendo uma substituição do tipo , logo , não esquecendo de mudar os limites
Teremos
Substituindo os limites e tirando a constante para fora, ficaremos
Por fim, resolvendo essa integral aí de modo análogo, fazendo uma substituição do tipo
Mudando também os limites de integração
Cuidado com o sinal! Vamos passar esse sinal negativo de para próximo do dentro da integral
Resolvendo essa última integral aí
Resposta
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