Considere a integral

I = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 3 - 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

(a) Reescreva I como uma integral iterada em coordenadas cilíndricas.

(b) Reescreva I como uma integral iterada em coordenadas esféricas.

(c) Calcule I .

Passo 1

(a) Reescrevendo primeiro com coordenadas cilindricas.

Observa que a região que estamos trabalhando pode ser descrita como:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

Se voce for parar pra observar primeiro o z, ficamos com:

z = 1 - x 2 - y 2

z 2 = 1 - x 2 - y 2

z 2 + y 2 + x 2 = 1

Opa, esfera de raio 1, certo? No entano não toda ela, somente a parte acima do plano xy, até por que temos o z variando entre 0 e a parte superior da esfera.

Observando agora o y, temos:

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Observa que estamos então trabalhando so com a parte positiva de y. Ou seja, só nos serve o primeiro e segundo octante.

Observando agora o x, temos que ele varia de 0 a 1. Ou seja, tambem só sua parte positiva, o que nos faz concluir que estamos trabalhando com apenas 1 8 da esfera. Somente a parte contida no primeiro octante.

Passo 2

Reescrevendo então isso aí em coordenadas cilíndricas temos:

x = r   c o s θ

y = r   s e n θ  

z = z

J = r

Agora vamos analizar a variação dos parametros. r   e   θ é relativamente simples de ver, uma vez que como estamos no primeiro ontante, r ainda vai ser de 0 a 1, enquanto θ não vai dar a volta completa, na verdade só 1 4 da volta. Variando então entre zero e π 2 .

Agora quanto a z, lembra que tinhamos:

z = 1 - x 2 - y 2

Escrevendo entã em função da parametrização ficaremos com:

z = 1 - r 2

Escrevendo agora o 3 - 2 x 2 + y 2 + z 2 em função da parametrização ficamos com:

3 - 2 r 2 + z 2

Então podemos finalmente montar a integral sem esquecer o jacobiano.

I = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2 3 - 2 r 2 + z 2 r d z   d r   d θ

Passo 3

(b) Escrevendo agora com coordenadas esféricas fica até mais tranquilo e faz mais sentido, uma vez que estamos trabalhando com um aparte de uma esfera.

Observando a variação dos parâmetros ficamos com:

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π 2

o ≤ φ ≤ π 2

Escrevendo agora 3 - 2 x 2 + y 2 + z 2 em função da parametrização ficamos com:

  3 - 2 x 2 + y 2 + z 2

3 - 2 ρ 2

3 - 2 ρ

Montando agora a integral ficamos com:

I = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 3 - 2 ρ ρ 2 s e n φ   d ρ θ d φ

Passo 4

(c) Para concluir agora então só nos falta calcular isso daí:

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 3 - 2 ρ ρ 2 s e n φ   d ρ θ d φ =

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 3 ρ 2 - 2 ρ 3   d ρ θ d φ =

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ρ 3 - ρ 4 2 | 1 0 s e n φ   d θ d φ =

1 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 s e n φ   d θ d φ =

π 4 ∫ 0 π 2 s e n   φ   d φ =

π 4 ( - cos ⁡ φ ) | π 2 0 =

Resposta

π 4

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