Determine o volume da região delimitada pela esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 e pelo cone z ≥ x 2 + y 2

Passo 1

Fala turminha, tudo em cima? Bora lá resolver essa questão. Primeiro, vamos desenhar os dois casos. Temos o seguinte:

Essa nossa esfera. O cone:

Então nosso sólido é mais ou menos um “sorvete”.

Passo 2

Vamo lá turma, precisamos que o volume que vamos formar tem formato de:

v = ∫ ∫ ∫ f ( x , y , z )   d V

Essa integral, pode ser reinterpretada como:

v = ∫ ∫ D   ∫ u 1 ( x , y ) u 2 ( x , y ) f x , y , z d z d A ,

Onde,

f x , y , z = 1

Temos que esse D é a região delimitada pelas equações:

z ≤ 9 - x 2 - y 2 1 2

z ≥ x 2 + y 2

Logo, para acharmos as interseções precisamos igualar essas funções:

9 - x 2 - y 2 1 2 ≥ x 2 + y 2

Resolvendo:

9 ≥ ( x 2 + y 2 )

x 2 + y 2 ≤ 9 2   : D

Passo 3

Show, agora precisamos armar a nossa integral novamente com a informação do domínio que descobrimos:

v = ∫ ∫ D   ∫ u 1 u 2 d z d A

u 1 = x 2 + y 2

u 2 = 9 - x 2 - y 2 1 2

Dessa forma:

∫ ∫ D   ∫ u 1 u 2 d z d A = ∫ ∫ D   u 2 - u 1 d A

Para todo:

D :   x 2 + y 2 ≤ 9 2  

Utiizando coordenadas cilíndricas, vamos transformar nossa integral pra podermos resolver. Faremos aquela clássica transformação:

d A = r   d r   d θ

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

x 2 + y 2 = r 2

Para todo:

r ≥ 0

0 ≥ θ ≥ 2 π

Logo, transformando nossas funções u 1 e u 2 ,

u 1 = r

u 2 = 9 - r 2 1 / 2

E o nosso domínio:

D : r 2 ≤ 9 2 → r ≤ 3 2 2

Passo 4

Nossa integral então ficou com essa cara:

v = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 2 9 - r 2 1 / 2 r 2 d r d θ

Organizando essa salada mista:

v = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 3 2 2 r 2 ⋅ 9 - r 2 1 / 2 d r

Substituindo: r = 3   s e n   ( u ) e d r = 3 cos ⁡ ( u )   d u , temos:

v = 2 π ∫ 0 π 4 9   s e n 2   u ⋅ 9 cos 2 ⁡ u d u

Resolvendo:

v = 49.89   u   . v

Passo 5

Resposta

v = 49.89   u   . v

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