Usando coordenadas esféricas, encontre o volume da região que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 e fora do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Dica: Tem-se

∫ 1 sen 2 ⁡ ϕ d ϕ = - 1 tan ⁡ ϕ + c

Passo 1

Bom, se o enunciado pede volume de sólidos, sabemos que ele quer a integral tripla

V = ∭ W 1 d V

Então a gente só precisa saber definir essa região em três dimensões, que já é um trabalhinho chato.

Ele fala de coordenadas esféricas no enunciado, isso quer dizer que

x = ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

y = ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

z = ρ cos ⁡ ϕ

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

J = ρ 2 sen ⁡ ϕ

O esboço da região é esse aqui

A primeira coisa que a gente pode tentar fazer é substituir isso na região do enunciado

Primeiro, ele pediu a região interna a esfera, então ele quer x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2

ρ 2 ≤ 2

ρ ≤ 2

Depois, ele pediu a região externa ao cilindro, logo x 2 + y 2 ≥ 1

ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 2 + ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ 2 ≥ 1

ρ 2 cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ + ρ 2 sen 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ ≥ 1

Colocando ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ em evidência:

ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ 1 ≥ 1

ρ 2 ≥ 1 sen 2 ⁡ ϕ

ρ ≥ 1 sen ⁡ ϕ

O que esse resultado quer dizer pra gente?

Ele diz que o ρ fora do cilindro e dentro da esfera vale

1 sen ⁡ ϕ ≤ ρ ≤ 2

Beleza, mas quais os limites de θ e ϕ ?

Passo 2

Pensando em θ primeiro, como o sólido da uma volta completa no plano x y , temos que os limites são

0 ≤ θ ≤ 2 π

Pra ver ϕ agora podemos pensar de duas formas. A primeira – que eu pessoalmente prefiro – é olhar pros limites de ρ .

1 sen ⁡ ϕ ≤ ρ ≤ 2

Se isso é verdade, então podemos tirar esse ρ e também afirmar que

1 sen ⁡ ϕ ≤ 2

Com isso

1 ≤ 2 sen ⁡ ϕ

sen ⁡ ϕ ≥ 1 2

sen ⁡ ϕ ≥ 2 2

Pra isso, pensando no ciclo trigonométrico, temos que

π 4 ≤ ϕ ≤ 3 π 4

É muito importante entender que a gente só pode fazer esse método porque o enunciado não deu nenhuma outra restrição pra ϕ ! Ele só falou do cilindro e da esfera, que já tínhamos usado em ρ

A segunda maneira é olhar pro esboço e lembrar do significado de ϕ , que é o ângulo que começa no eixo z e vai de 0 até π .

No esboço então a gente vê que o sólido começa e termina nas interseções do cilindro com a esfera, ou seja

e s f e r a → x 2 + y 2 + z 2 = 2

c i l i n d r o → x 2 + y 2 = 1

1 + z 2 = 2

z 2 = 1

z = ± 1

Na equação da superfície da esfera, isso vale

2 cos ⁡ ϕ = ± 1

cos ⁡ ϕ = ± 2 2

ϕ = π 4

ϕ = 3 π 4

E chegamos nos mesmos limites =D

Passo 3

Colocando tudo na integral tripla sem esquecer do jacobiano

V = ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 ∫ 1 sen ⁡ ϕ 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Vamos começar integrando em ρ

= ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 sen ⁡ ϕ ρ 3 3 1 sen ⁡ ϕ 2 d ϕ d θ

= ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 sen ⁡ ϕ 3 2 2 - 1 sen 3 ⁡ ϕ d ϕ d θ

= 1 3 ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 2 2 sen ⁡ ϕ - 1 sen 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ

Isso aí a gente pode dividir em duas integrais diferentes pra organizar melhor

= 1 3 ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 2 2 sen ⁡ ϕ d ϕ d θ - 1 3 ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 1 sen 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ

Passo 4

Integrando a primeira em ϕ

= 2 2 3 ∫ 0 2 π - cos ⁡ ϕ π 4 3 π 4 d θ

= 2 2 3 ∫ 0 2 π - cos ⁡ 3 π 4 - cos ⁡ π 4 d θ

= 2 2 3 ∫ 0 2 π - - 2 2 - 2 2 d θ

= 2 2 3 ∫ 0 2 π 2 d θ

Integrando em θ

= 2 2 3 2 2 π

= 8 π 3

Passo 5

Vamos pra segunda integral agora

1 3 ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 1 sen 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ

Como o enunciado deu pra gente

∫ 1 sen 2 ⁡ ϕ = - 1 tg ⁡ ϕ + c

Então temos que

= 1 3 ∫ 0 2 π - 1 tg ⁡ ϕ π 4 3 π 4 d θ

= - 1 3 ∫ 0 2 π 1 tg ⁡ 3 π 4 - 1 tg ⁡ π 4 d θ

= - 1 3 ∫ 0 2 π 1 - 1 - 1 1 d θ

= - 1 3 ∫ 0 2 π - 2 d θ

Integrando em θ

= 2 3 2 π

= 4 π 3

Passo 6

Juntando as duas integrais

1 3 ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 2 2 sen ⁡ ϕ d ϕ d θ - 1 3 ∫ 0 2 π ∫ π 4 3 π 4 1 sen 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ

= 8 π 3 - 4 π 3

V = 4 π 3

Resposta

4 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x