Questão 1: Calcule a integral tripla:

∭ B   x 2 + y 2 + z 2 2   d V

Onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .

Passo 1

Bem, estamos calculando uma integral tripla de soma de termos ao quadrado. Além disso, a região onde estamos trabalhando está dentro de uma esfera de raio 5 e de centro na origem:

Logo, o problema está quase que nos implorando para resolvê-lo por uma mudança para coordenadas esféricas:

x = ρ sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = ρ sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = r cos ⁡ φ

O jacobiano dessa mudança é:

J = ρ 2 sin ⁡ φ

E não devemos esquecer-nos da equação geral da esfera (basicamente a soma ao quadrado das coordenadas):

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Passo 2

Em qualquer mudança, o problema maior é encontrar onde as novas variáveis “variam”. Mas não se preocupe, no caso das esféricas, temos um macete: comparar com variação geral das coordenadas esféricas:

Veja que comparando a nossa região com o diagrama das variações das coordenadas esféricas, percebemos que:

  1. O θ é o cara que, no nosso caso, deve dar uma volta completa:
  2. 0 ≤ θ ≤ 2 π

  3. O ρ deve sair da origem e ir até o raio máximo que é dado pelo raio da bola...
  4. 0 ≤ ρ ≤ 5

  5. Enquanto φ , ele tem que sair lá de cima ( 0 ° ) e ir até lá em baixo ( 180 ° ) :

0 ≤ φ ≤ π

Passo 3

Com essas três variações em mãos, podemos voltar a integral onde vamos substituir tudo (não se deve esquecer-se de multiplicar a função do integrando pelo Jacobiano, heim):

∭ B   x 2 + y 2 + z 2 2   d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 5 ρ 2 2 ⋅ J   d ρ d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 5 ρ 2 2 ⋅ ρ 2 sin ⁡ φ   d ρ d φ d θ

Integrando primeiro em ρ ...

∫ 0 2 π ∫ 0 π sin ⁡ φ ∫ 0 5 ρ 6   d ρ d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π sin ⁡ φ ρ 7 7 0 5 d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π sin ⁡ φ 5 7 7 d φ d θ = 5 7 7 ∫ 0 2 π ∫ 0 π sin ⁡ φ d φ d θ =

Integrando a do meio agora...

5 7 7 ∫ 0 2 π ∫ 0 π sin ⁡ φ d φ d θ = 5 7 7 ∫ 0 2 π - cos ⁡ φ 0 π d θ =

5 7 7 ∫ 0 2 π - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 d θ =

5 7 7 ⋅ 2 ∫ 0 2 π d θ =

5 7 7 ⋅ 2 ⋅ 2 π =

312500 7 π

Resposta

312500 7 π

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