Calcule

∭ R d V x 2 + y 2

Onde R é a região limitada pela superfície ρ = 2   s e n ϕ , externa à ρ = c o s s e s c   ϕ

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa integral tripla aqui

∭ R d V x 2 + y 2

E pediu para calcularmos ela sabendo que R é a região que está limitada (ou seja, por fora) pela equação ρ = 2 s e n ϕ e externa (ou seja, aqui vem a limitação inferior) à ρ = c o s s e c ϕ

Mas como definir os outros limites de integração?

Primeiro precisamos identificar que estamos lidando com coordenadas esféricas, então

d V = ρ 2 s e n ϕ d ρ   d ϕ   d θ

E o integrando

1 x 2 + y 2 = 1 ρ s e n ϕ c o s θ 2 + ρ s e n ϕ s e n θ 2 = 1 ρ 2 s e n 2 ϕ

= 1 ρ s e n ϕ

Beleza?

Agora vamos aos limites! Em ρ foi dado:

c o s s e c ϕ < ρ < 2 s e n ϕ

E nos outros ângulos? Então a ideia aqui é determinar onde essas duas curvas se cruzam para determinarmos o limite de integração da intersecção em ϕ .

E θ ? Como temos simetria esférica, temos que é a volta completa

0 < θ < 2 π

ϕ é hora de montar a integral e partir para os cálculos!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos determinar onde as equações para ρ se cruzam:

c o s s e c ϕ = 2 s e n ϕ

1 s e n ϕ = 2 s e n ϕ

Aí temos

s e n 2 ϕ = 1 2 → ϕ = π 4   e   ϕ = 3 π 4

Achamos nossos limites!

π 4 < ϕ < 3 π 4

Tranquilo até aqui?

Bora montar nossa integral

∫ 0 2 π ∫ π / 4 3 π / 4 ∫ c o s s e c ϕ 2 s e n ϕ 1 ρ s e n ϕ . ρ 2 s e n ϕ d ρ   d ϕ   d θ

Podemos deixar ela pouco mais simples

∫ 0 2 π ∫ π / 4 3 π / 4 ∫ c o s s e c ϕ 2 s e n ϕ ρ   d ρ   d ϕ   d θ

Tranquilo? Agora é #partiu integrar!

Passo 3

Começando em ρ

∫ 0 2 π ∫ π / 4 3 π / 4 ∫ c o s s e c ϕ 2 s e n ϕ ρ   d ρ   d ϕ   d θ = ∫ 0 2 π ∫ π / 4 3 π / 4 ρ 2 2 c o s s e c ϕ 2 s e n ϕ d ϕ   d θ = 1 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ π / 4 3 π / 4 2 s e n 2 ϕ - c o s s e c 2 ϕ   d ϕ  

Podemos trazer d θ para frente pois o integrando (nem os limites) dependem de θ e podemos calcular ao mesmo tempo! Usando a identidade trigonométrica s e n 2 ϕ = 1 - cos ⁡ 2 ϕ 2 e integrando temos

= 1 2 θ 0 2 π . ϕ - s e n 2 ϕ 2 + c o t g ϕ π / 4 3 π / 4

Beleza? Agora é só aplicar os limites!

= 1 2 2 π - 0 . 3 π 4 - s e n 3 π 2 2 + c o t g 3 π 4 - π 4 + s e n π 2 2 - c o t g π 4

E por fim vamos resolver e simplificar

π . 2 π 4 + 1 2 + 1 + 1 2 - 1 = π 2 2 + π

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

π 2 2 + π

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