2 . Encontre o volume do sólido que está entre as esferas centradas na origem de raio 1 e 2 e no interior do cone z = x 2 + y ² .

Passo 1

Vamos imaginar com calma o nosso sólido.

Teremos uma esfera de raio 1 “dentro” de uma esfera de raio 2 , então tudo que está fora da esfera de raio 1 e dentro da esfera de raio 2 , POR ENQUANTO, é o nosso sólido.

Contudo temos mais uma limitação, essas esferas são cortadas pela parte de cima de um cone e o sólido na verdade está limitado inferiormente pela esfera de raio 1 e pelo cone, e limitado superiormente pela esfera de raio 2 .

Sabendo agora mais ou menos a cara do nosso sólido vamos usar coordenadas esféricas e resolver essa questão.

Passo 2

Usando coordenadas esféricas sabemos que:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,       y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ       e       z = ρ cos ⁡ ϕ

Então vamos tirar as informações que precisamos:

ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ ϕ 2 = 1   ⇒ ρ 2 = 1   ∴   ρ = 1

ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ ϕ 2 = 4     ⇒ ρ 2 = 4   ∴   ρ = 2

Ou seja:

1 ≤ ρ ≤ 2

ρ cos ⁡ ϕ = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ 2 = ρ sen ⁡ ϕ 2 ∴   ρ cos ⁡ ϕ = ρ sen ⁡ ϕ ⇒

⇒   tan ⁡ ϕ = 1   ∴   ϕ = π 4

Ou seja:

0 ≤ ϕ ≤ π 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

Só nos resta agora resolver a integral.

Passo 3

Como queremos o volume do sólido:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ   d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ   d ρ d ϕ d θ =

⇒ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 4 sen ⁡ ϕ d ϕ )   ∫ 1 2 ρ 2   d ρ = 2 π - cos ⁡ π 4 + cos ⁡ 0 2 3 3 - 1 3 3

                                                                                                          = 14 π 3 - 2 2 + 1

E assim chegamos ao fim desse exercício.

Resposta

V = 14 π 3 - 2 2 + 1

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Identifique a superfície cuja equação é dada.rho = sen theta sen varphi
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x