(Capítulo 15.9 – Exercício 22) Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ H 9 - x 2 - y 2 d V , onde H é o hemisfério sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 , z ≥ 0 .

Passo 1

Salveee galera, tudo certinho? Vamos calcular essa integral tripla:

∭ H 9 - x 2 - y 2 d V , onde H é o hemisfério sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 , z ≥ 0

Usando coordenadas esféricas

Lembrando a forma das coordenadas esféricas:

∭ E f x , y , z d V = ∫ c d ∫ α β ∫ a b f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Onde E é uma cunha esférica dada por:

E = ρ , θ , ϕ | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ θ ≤ β , c ≤ ϕ ≤ d

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ                 y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ                 z = ρ cos ⁡ ϕ

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Temos então que:

0 ≤ ρ ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Pronto, agora é só substituir:

∭ H 9 - x 2 - y 2 d V = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 - ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ - ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ sen 2 ⁡ θ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 - ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 - ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Então a integral que vamos resolver é essa:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 ρ 2 sen ⁡ ϕ - ρ 4 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Passo 3

Vamos agora resolver a integral, indo da integral mais interna até a mais externa, começando por integrar em relação a ρ , tratando tudo que não for ρ como constante:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 ρ 2 sen ⁡ ϕ - ρ 4 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 ρ 2 sen ⁡ ϕ - ρ 4 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 ρ 2 sen ⁡ ϕ - ρ 4 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π 9 ρ 3 3 sen ⁡ ϕ - ρ 5 5 sen 3 ⁡ ϕ 0 3 d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π 3 . 3 3 sen ⁡ ϕ - 3 5 5 sen 3 ⁡ ϕ - 3 . 0 3 sen ⁡ ϕ - 0 5 5 sen 3 ⁡ ϕ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π 81 sen ⁡ ϕ - 243 5 sen 3 ⁡ ϕ d θ d ϕ

Passo 4

Agora em relação a θ , e como fizemos antes vamos tratar tudo que não for θ como constante:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 ρ 2 sen ⁡ ϕ - ρ 4 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π 81 sen ⁡ ϕ - 243 5 sen 3 ⁡ ϕ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 81 θ sen ⁡ ϕ - 243 θ 5 sen 3 ⁡ ϕ 0 2 π d ϕ = ∫ 0 π 2 81.2 π sen ⁡ ϕ - 243.2 π 5 sen 3 ⁡ ϕ - 81.0 sen ⁡ ϕ - 243.0 5 sen 3 ⁡ ϕ d ϕ = 2 π ∫ 0 π 2 81 sen ⁡ ϕ - 243 5 sen 3 ⁡ ϕ d ϕ

Passo 5

E por ultimo em relação a ϕ , e como fizemos antes vamos tratar tudo que não for ϕ como constante e vamos usar que sen 3 ⁡ ϕ = 1 4 3 sen ⁡ ϕ - sen ⁡ 3 ϕ :

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 ρ 2 sen ⁡ ϕ - ρ 4 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = 2 π ∫ 0 π 2 81 sen ⁡ ϕ - 243 5 sen 3 ⁡ ϕ d ϕ = 2 π ∫ 0 π 2 81 sen ⁡ ϕ - 243 5 ∙ 1 4 3 sen ⁡ ϕ - sen ⁡ 3 ϕ d ϕ = 2 π ∫ 0 π 2 891 20 sen ⁡ ϕ + 243 20 sen ⁡ 3 ϕ d ϕ = 2 π - 891 20 cos ⁡ ϕ - 243 20.3 cos ⁡ 3 ϕ 0 π 2 = 2 π - 891 20 cos ⁡ ϕ - 81 20 cos ⁡ 3 ϕ 0 π 2 = 2 π - 891 20 cos ⁡ π 2 - 81 20 cos ⁡ 3 π 2 - - 891 20 cos ⁡ 0 - 81 20 cos ⁡ 3.0

Então, por fim:

2 π - 0 - 0 - - 891 20 - 81 20 = 486 π 5

Resposta

∭ H 9 - x 2 - y 2 d V = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 ρ 2 sen ⁡ ϕ - ρ 4 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = 2 π = 486 π 5

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