Calcule a integral tripla

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 2   d z d y d x

Passo 1

Observa que temos

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

Isso basicamente é a parte interior de raio 1 no primeiro octante. Como que eu vi isso?

Observa primeiro que z varia entre 0 e uma função. Que função é essa?

z = 1 - x 2 - y 2

z 2 = 1 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Isso é basicamente uma esfera de raio 1! No entanto, observa que como a raíz era positiva, queremos só a parte de z positivo!

Temos ainda que y   varia entre 0 e 1 - x 2

y = 1 - x 2

y 2 = 1 - x 2

x 2 + y 2 = 1

Notou a circunferência? Mais uma vez, somente a parte positiva da circuntefencia, logo

Se você for observar, isso nos limita ao primeiro octante, ou seja, onde x, y e z são positivos (lembrando que x varia entre 0 e 1).

Passo 2

Já que estamos trabalhando com uma esfera pensamos em que? Você está certo se pensou em mudança para coordenadas esféricas haha.

Teremos

x = ρ s e n φ c o s θ

y = ρ s e n φ s e n θ

z = ρ c o s φ

Sem esquecer o Jacobiano

Passo 3

Substituindo na noss integral temos

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 2   d z d y d x

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ρ 4 ρ 2 s e n ϕ   d ρ d ϕ d θ

Lembrando que

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ ϕ ≤ π 2

1 ≤ θ ≤ π 2

Pois estamos trabalhando somente no primeiro octante.

Agora é solresolver a integral.

Passo 4

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ρ 4 ρ 2 s e n ϕ   d ρ d ϕ d θ

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ρ 6 s e n ϕ   d ρ d ϕ d θ

π 2 ∫ 0 π 2 s e n ϕ   d ϕ ∫ 0 1 ρ 6 d ρ

π 14

Resposta

π 14

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