Determine o volume da esfera sólida ρ ≤ a que está entre os cones ϕ = π / 3 e ϕ = 2 π / 3 .

Passo 1

Bem, esse enunciado é bem direto, direto até demais, vamos começar entendendo ele direitinho.

Ele quer o volume de uma esfera sólida, vamos chamar essa esfera de W , então ele na verdade quer

V = ∭ W d x d y d z

Beleza, agora resta entender como diabos é essa esfera, repara que ele fala em ρ e em ϕ esses dois caras são parâmetros das coordenas esféricas. Onde ρ é o raio da esfera e ϕ é o ângulo que chamamos de φ nas coordenadas esféricas, então na verdade o que ele está nos dando ali são as limitações das coordenadas esféricas dessa esfera. Vamos usar então coordenadas esféricas nessa parada.

Passo 2

As coordenadas esféricas são, usando aquele ϕ no lugar de φ para deixar como ele falou no enunciado, vamos ter

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

J = ρ 2 sen ⁡ ϕ

Ele deu os limites de ρ e de ϕ , então

ρ ∈ 0 , a

ϕ ∈ π 3 , 2 π 3

Falta θ , como ele não limitou em nada essa parada, vamos ter

θ ∈ 0,2 π

Então a esfera vai ser

W = ρ , θ , ϕ 0 ≤ ρ ≤ a , 0 ≤ θ ≤ 2 π , π 3 ≤ ϕ ≤ 2 π 3

Passo 3

A nossa integral do volume vai ficar

V = ∭ W d x d y d z = ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ π / 3 2 π / 3 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ϕ d ρ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 a - ρ 2 cos ⁡ ϕ π / 3 2 π / 3 d ρ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 a - ρ 2 cos ⁡ 2 π 3 - cos ⁡ π 3 d ρ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 a - ρ 2 - 1 2 - 1 2 d ρ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 a ρ 2 d ρ d θ =

∫ 0 2 π ρ 3 3 0 a d θ =

∫ 0 2 π a 3 3 d θ =

a 3 3 2 π - 0 =

2 π a 3 3

Resposta

2 π a 3 3

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície com a equação dada. ρ cos ⁡ ϕ = 1
Descreva em palavras a superfície com a equação dada. ρ 2 - 3 ρ + 2 = 0
Identifique a superfície cuja equação é dada.rho = sen theta sen varphi
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2