Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

UFRJ, Cálculo III, P1/2010.1, 3

Determine o volume do sólido W dado por

W = { ( x , y , z ) R 3 | x - 1 2 + y 2 + z 2 1   e   z x 2 + y 2 }

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido.

Temos uma esfera de raio ρ = 1 centrada em ( 1,0 , 0 ) e a folha superior de um cone (pois a raiz deve ser positiva).

Queremos a região que está dentro da esfera de raio 1 (pois o enunciado pede x 2 + y 2 + z 2 1 )e, ao mesmo tempo, acima do cone ( z x 2 + y 2 ). Fazendo esses cortes, teremos então:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos φ

J = ρ 2 s e n   φ

Passo 3

Precisamos agora escrever matematicamente a região de integração.

Pela própria figura, já vemos que π / 2 θ π / 2 (girando em sentido anti-horário, nós vamos desde a parte negativa do eixo y até a positiva). Os valores de ρ , nós vemos que variam desde a origem até a superfície da esfera., vamos, então, escrevê-la em coordenadas esféricas:

x - 1 2 + y 2 + z 2 = 1   x 2 + y 2 + z 2 = 2 x

ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 + ρ cos φ 2 = 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 θ + ρ 2 s e n 2 φ s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 φ = 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ

ρ 2 s e n 2 φ   + ρ 2 cos 2 φ = 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ

ρ = 2   s e n   φ   c o s   θ

Temos, então 0 ρ 2   s e n   φ   c o s   θ .

Falta agora o intervalo de φ . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo z , onde temos φ = 0 até a superfície do cone. Vamos, então, escrever a equação desse cone em coordenadas esféricas:

ρ cos φ = ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2

ρ cos φ = ρ 2 s e n 2 φ cos 2 θ + ( ρ 2 s e n 2 φ )   s e n 2 θ

ρ cos φ = ρ 2 s e n 2 φ   = ρ   s e n   φ

s e n   φ = cos φ   t g   φ = 1       φ = π / 4

Portanto, 0 φ π / 4 . A região será escrita como:

W = { ( ρ , θ , φ ) | π / 2 θ π / 2   ; 0 φ π / 4 ;   0 ρ 2   s e n   φ   c o s   θ

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

0 π / 4 - π / 2 π / 2 0 2   s e n   φ   c o s   θ ρ 2 s e n   φ   d ρ   d θ   d φ =

Passo 5

Agora integraremos em relação a ρ :

= 0 π / 4 - π / 2 π / 2 ρ 3 3 s e n   φ ρ = 0 ρ = 2   s e n   φ   c o s   θ   d θ   d φ =

= 1 3 0 π / 4 - π / 2 π / 2 8   s e n 4 φ cos 3 θ   d θ   d φ =

Passo 6

Vamos rearrumar a integral dessa forma:

= 1 3 0 π / 4 - π / 2 π / 2 8   s e n 4 φ 1 - s e n 2 θ cos θ   d θ   d φ =

E fazer a substituição s e n   θ = u , cos θ d θ = d u :

= 1 3 0 π / 4 - 1 1 8   s e n 4 φ 1 - u 2   d u   d φ =

= 8 3 0 π / 4 s e n 4 φ u - u 3 3 u = - 1 u = 1 d φ =

= 8 9 0 π / 4 s e n 4 φ 3 u - u 3 u = - 1 u = 1 d φ =

= 8 9 0 π / 4 4   s e n 4 φ d φ = 32 9 0 π / 4   s e n 4 φ d φ =

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos usar a fórmula do arco duplo s e n 2 φ = 1 - cos 2 φ 2 :

= 32 9 0 π / 4   s e n 2 φ 2 d φ = 32 9 0 π / 4   1 - cos 2 φ 2 4 d φ =

= 8 9 0 π / 4 1 - 2 cos 2 φ + cos 2 2 φ d φ =

Usando a fórmula novamente, temos c o s 2 2 φ = 1 + cos 4 φ 2 :

= 8 9 0 π 4 1 - 2 cos 2 φ + 1 + cos 4 φ 2 d φ =

= 4 9 0 π / 4 2 - 4 cos 2 φ + 1 + cos 4 φ d φ =

= 4 9 3 φ - 4 s e n 2 φ 2 + s e n 4 φ 4 0 π / 4 =

= 4 9 3 π 4 - 2 =

Resposta

3 π - 8 9

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